Simplificación de expresiones con factoriales

Una expresión factorial se puede escribir utilitzando el recurso: $$$n! = n \cdot (n-1)!$$$

Esto permite simplificar términos cuando los factoriales aparecen en fracciones.

Por ejemplo, para calcular una expresión como: $$$\dfrac{8!}{6!\cdot3!}$$$ debemos tener en cuenta que en el numerador $$8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 8\cdot7\cdot6!$$ (hemos detenido el desarrollo en el $$6!$$ porque es el término que aparece en el denominador y de esta forma lo podremos simplificar). De manera que $$$\dfrac{8!}{6!\cdot3!}=\dfrac{8\cdot7\cdot\cancel{6!}}{\cancel{6!}\cdot3!}= \dfrac{8\cdot7}{3\cdot2}=\dfrac{28}{3}$$$

Calculemos el valor de: $$$\dfrac{14!\cdot6!}{13!\cdot7!}$$$ En este caso jugaremos con los desarrollos del numerador y denominador para tener la mayor ventaja en la simplificación, $$14! = 14 \cdot 13!$$ y $$7! = 7\cdot6!$$:

$$$\dfrac{14!\cdot6!}{13!\cdot7!}=\dfrac{14!\cdot \cancel{13!}\cdot \cancel{6!}}{\cancel{13!}\cdot7\cdot\cancel{6!}}=\dfrac{14}{7}=2$$$

El mismo método puede utilizarse para expresiones literales (aquellas en las que en vez de números aparecen letras): $$$\dfrac{x!}{(x-1)!}=\dfrac{x\cdot \cancel{(x-1)!}}{\cancel{(x-1)!}}=x $$$

El ejemplo puede ser tan complicado como se quiera, pero la solución siempre será sencilla: $$$\dfrac{(m-2)!\cdot x!}{(x-1)!\cdot m!}=\dfrac{(m-2)!\cdot x\cdot\cancel{(x-1)!}}{\cancel{(x-1)!}m\cdot (m-1)!}= \dfrac{\cancel{(m-2)!}\cdot x}{m\cdot(m-1)\cdot\cancel{(m-2)!}}= \dfrac{x}{m\cdot(m-1)} $$$

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