Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas están en el exponente de una potencia. Las ecuaciones exponenciales utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica. Por lo que se les dará un repaso.
Para resolverlas se utilizan las siguientes propiedades:
- $$a^0=1$$ para cualquier $$a$$.
- Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes. Es decir: $$$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$$
- Para cualquier $$a \neq 0$$ y $$a\neq 1$$ se tiene que:$$$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$$
Cuando se quiere resolver una ecuación exponencial ésta puede tener distinta forma, por ello existen distintos métodos y transformaciones.
Cuando tenemos una ecuación del tipo $$a^{f(x)}=1$$ con $$a\neq 0$$ y $$a\neq 1$$. Entonces se procede con las propiedades de las potencias que nos dicen que $$f(x)=0$$ dado que el único exponente que para cualquier base da uno es el cero.
$$$10^{x^2+-2}=1 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow x=1$$$ y $$$x=-2$$$ donde hemos utilizado que el único exponente que hace que una potencia dé $$1$$ es el cero, para cualquier base.
Para construir una de este tipo, nos vale en elevar una base cualquiera a una ecuación e igualarla a $$1$$. Por ejemplo, escogiendo base $$8$$ y ecuación $$$3x^2-9$$$ obtenemos: $$$8^{3x^2-9}=1$$$ que se resolverá con $$$3x^2-9=0 \Rightarrow \displaystyle x=\frac{\pm\sqrt{-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\frac{\pm6\sqrt{3}}{6}=\pm \sqrt{3}$$$