Repartos proporcionales: directos e inversos

Otro ámbito de la proporcionalidad son los denominados repartos proporcionales, es decir, cuando se quiere repartir una cantidad de formar proporcional, ya sea directa o inversa, entre diversas partes.

Un abuelo decide repartir $$6.000$$ € entre sus tres nietos, pero en vez de darles un tercio a cada uno prefiere hacerlo de forma proporcional a la edad de cada nieto, que tienen $$7, 12$$ y $$21$$ años. ¿Cuánto recibirá cada uno de ellos?

Para encarar este tipo de problemas habrá que asignar una incógnita a cada uno de las partes, de modo que:

La cantidad que le corresponde al nieto de $$7$$ años se denominará $$x$$, la del nieto de $$12$$ años será $$y$$, y la del de $$21$$ años será $$z$$.

Como el abuelo ha decidido, por la razón que sea, repartir el dinero en función de la edad, al nieto más joven le tocarán $$\dfrac{x}{7}$$ partes del total, al mediano $$\dfrac{y}{12}$$ partes y al mayor $$\dfrac{z}{21}$$ partes. La relación se puede esquematizar del siguiente modo:

$$$\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{21}$$$

Donde $$x, y, z$$, representan la cantidad que recibirá cada nieto, cuya suma será la cantidad total a repartir, es decir, los $$6.000$$ €.

En este punto hay que citar otra propiedad importante de las proporciones, y es que:

$$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$$$

Es decir, en una proporción, al sumar los numeradores y los denominadores de las fracciones que la integran se obtiene una nueva fracción que es proporcional a cualquiera de las implicadas.

Aplicando esta regla al ejemplo se tendrá que: $$$\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{21}=\dfrac{x+y+z}{7+12+21}=\dfrac{C}{40}$$$

Ya que la cantidad total repartida, $$C=6000$$ € , debe ser la suma de lo que se asigna a cada nieto $$x+y+z$$. Como la nueva fracción obtenida es igual a cualquiera de las demás, se puede igualar con cada incógnita, lo que permitirá hallar su valor:

El nieto más joven recibirá:

$$\dfrac{x}{7}=\dfrac{C}{40} \Rightarrow \dfrac{x}{7}=\dfrac{6000}{40} \Rightarrow 40x=7\cdot6000 \Rightarrow 40x=42.000$$

$$\Rightarrow x=\dfrac{42.000}{40}=1050$$ €

Al nieto mediano le tocarán:

$$\dfrac{y}{12}=\dfrac{C}{40} \Rightarrow \dfrac{y}{12}=\dfrac{6000}{40} \Rightarrow 40y=12\cdot6000 \Rightarrow 40y=72.000$$

$$\Rightarrow y=\dfrac{72.000}{40}=1800$$ €

Finalmente, al nieto mayor le corresponden:

$$\dfrac{z}{21}=\dfrac{C}{40} \Rightarrow \dfrac{z}{21}=\dfrac{6000}{40} \Rightarrow 40z=21\cdot6000 \Rightarrow 40z=126.000$$

$$\Rightarrow z=\dfrac{126.000}{40}=3150$$ €

Si la operación se ha hecho bien, la suma de las cantidades repartidas ha de ser igual al total:

$$1050+1800+3150=6000$$ €.

El ejemplo anterior es un caso claro de reparto directamente proporcional, puesto que los nietos con más edad reciben más dinero y viceversa. Pero:

¿Qué ocurriría si el abuelo decidiese repartir el dinero de forma inversamente proporcional a la edad de los nietos?

Pues que cuanta más edad menos dinero recibirán y viceversa, por lo que es necesario elaborar una relación que siga esta premisa.

Si se mantienen las incógnitas para cada nieto, al más joven le tocará una cantidad inversamente proporcional a su edad, de modo que si en el reparto directo le tocaban $$\dfrac{x}{7}$$ ahora le tocarán $$\dfrac{x}{\frac{1}{7}}$$ o, lo que es lo mismo, $$7x$$:

$$\mbox{Reparto directamente proporcional:} \dfrac{x}{7}$$

$$ \mbox{Reparto inversamente proporcional:} \dfrac{x}{\frac{1}{7}}$$

Es decir, para expresar el reparto inverso hay que invertir el denominador de la fracción correspondiente a cada nieto, de modo que:

$$$\dfrac{x}{\frac{1}{7}}=\dfrac{y}{\frac{1}{12}}=\dfrac{z}{\frac{1}{21}}$$$

Ahora, para hallar la fracción comparable a éstas habrá que sumar los numeradores y los denominadores:

$$$\dfrac{x}{\frac{1}{7}}=\dfrac{y}{\frac{1}{12}}=\dfrac{z}{\frac{1}{21}}=\dfrac{C}{\frac{1}{7}+\frac{1}{12}+\frac{1}{21}}$$$

Si se opera el denominador que contiene la suma de fracciones se obtiene que:

$$$\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{21}=\dfrac{12+7+4}{84}=\dfrac{23}{84}$$$

De modo que la relación del reparto quedará:

$$$\dfrac{x}{\frac{1}{7}}=\dfrac{y}{\frac{1}{12}}=\dfrac{z}{\frac{1}{21}}=\dfrac{C}{\frac{23}{84}}$$$

O lo que es lo mismo:

$$7x=12y=21z=\dfrac{84\cdot C}{23}$$

En este punto ya se pueden realizar los repartos correspondientes a cada nieto.

Al más joven le tocará

$$7x=\dfrac{84C}{23} \Rightarrow x=\dfrac{84\cdot6000}{23\cdot7}=\dfrac{504.000}{161}=3130,43$$ €

El mediano recibirá

$$12y=\dfrac{84C}{23} \Rightarrow y=\dfrac{84\cdot6000}{23\cdot12}=\dfrac{504.000}{276}=1826,09$$ €

Y al mayor le corresponderán

$$21z=\dfrac{84C}{23} \Rightarrow z=\dfrac{84\cdot6000}{23\cdot21}=\dfrac{504.000}{483}=1043,48$$ €

Se puede comprobar que todo sea correcto sumando las cantidades para ver si suman los $$6000$$ € a repartir:

$$3130,43+1826,09+1043,48=6000$$ €.

En los problemas de repartos proporcionales es habitual que la cantidad total a repartir sea desconocida, pero en estos casos se dan pistas para averiguarla.

Antonio, Alba y Alberto son tres camareros que siempre se reparten las propinas del mes en función de las horas diarias que trabaja cada uno. Antonio trabaja $$8$$ horas al día y este mes le han correspondido $$124$$ €. Si Alba trabaja $$6$$ horas al día y Alberto $$4$$ horas al día, ¿cuánto les corresponde a ellos? ¿A cuánto han ascendido las propinas este mes?

Lo primero que hay que observar es que se trata de un reparto directamente proporcional. Lo segundo es darse cuenta que a partir del dato de lo que recibe Antonio se puede conocer todo lo demás.

Si se denomina $$x$$ a la parte que le corresponde a Antonio, $$y$$ a la de Alba y $$z$$ a la de Alberto, el esquema del reparto será:

$$$\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{4}$$$

Pero, de hecho, el valor de $$x$$ es conocido, puesto que el enunciado dice que se lleva $$124$$ €, así que igualar dicha fracción con cada una de las otras dos permitirá saber los datos que faltan.

A Alba le corresponderán:

$$\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{6} \Rightarrow \dfrac{124}{8}=\dfrac{y}{6} \Rightarrow 8y=124\cdot6 \Rightarrow$$

$$8y=744 \Rightarrow y=\dfrac{744}{8}=93$$ €

Mientras que a Alberto le corresponden:

$$\dfrac{x}{8}=\dfrac{z}{4} \Rightarrow \dfrac{124}{8}=\dfrac{z}{4} \Rightarrow 8z=124\cdot4 \Rightarrow$$

$$8z=496 \Rightarrow z=\dfrac{496}{8}=62$$ €

Ahora, para saber a cuánto ascendía el total de propinas la opción más rápida consiste en sumar directamente las cantidades que se lleva cada camarero:

$$124+93+62=279$$ €