Para calcular el cociente de dos polinomios se utiliza un procedimiento que requiere muchos cálculos intermedios. Una regla que nos puede ayudar a simplificarlos es la regla de Ruffini. Esta regla sólo será válida cuando el divisor sea un polinomio de la forma $$x-a$$, siendo $$a$$ un número real.
Utilizaremos un ejemplo para explicar la metodología:
Realizar la división $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, siendo $$p(x)=x^4-3x^2+x+5$$ y $$q(x)=x+2$$.
1) Completar y ordenar el polinomio dividendo.
Escribir el polinomio divisor de la forma $$x-a$$, si es necesario.
En nuestro caso:
$$p(x)=x^4+0x^3-3x^2+x+5$$
$$q(x)=x-(-2)$$
Fijémonos que en este ejemplo el valor de $$a=-2$$.
2) Ponemos los elementos en una tabla como la siguiente.
| $$1$$ | $$0$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$5$$ | |
| $$-2$$ | |||||
En la fila superior, situamos los coeficientes del polinomio (ordenado y completado!) $$p(x)$$.
En la casilla izquierda, situamos el valor de $$a$$.
3) Bajamos el primer coeficiente, y lo multiplicamos por el valor de $$a$$. El resultado, lo ponemos justo debajo del segundo coeficiente:
| $$1$$ | $$0$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$5$$ | |
| $$-2$$ | $$1\cdot(-2)=-2$$ | ||||
| $$1$$ |
4) Sumamos la segunda columna y bajamos el resultado obtenido, repitiendo el proceso hasta la última columna:
| $$1$$ | $$0$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$5$$ | |
| $$-2$$ | $$1\cdot(-2)=-2$$ | $$(-2)\cdot(-2)=4$$ | $$1\cdot(-2)=-2$$ | $$(-1)\cdot(-2)=2$$ | |
| $$1$$ | $$0+(-2)=-2$$ | $$(-3)+4=1$$ | $$1+(-2)=-1$$ | $$5+2=7$$ |
5) El dígito de la esquina inferior derecha es el residuo. El resto de dígitos de la última fila son los coeficientes, ordenados, del polinomio cociente.
Así pues, en nuestro caso:
cociente: $$x^3-2x^2+x-1$$
resto: $$7$$
Como vemos, se cumple la relación de grados:
$$3=$$grado$$(x^3-2x^2+x-1)=$$grado$$(x^4-3x^2+x+5)-$$grado$$(x+2)=4-1=3$$
grado$$(7)=0 < 1 =$$grado$$(x+2)$$
Realizar la división $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, siendo $$p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2-1$$ y $$q(x)=x-1$$.
1) $$p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2+0x-1$$
$$q(x)=x-1$$
$$a=1$$.
2)
| $$1$$ | $$2$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$0$$ | $$-1$$ | |
| $$1$$ | ||||||
3)
| $$1$$ | $$2$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$0$$ | $$-1$$ | |
| $$1$$ | $$1$$ | |||||
| $$1$$ | $$3$$ |
4)
| $$1$$ | $$2$$ | $$-3$$ | $$1$$ | $$0$$ | $$-1$$ | |
| $$1$$ | $$1$$ | $$3$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$1$$ | |
| $$1$$ | $$3$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$1$$ | $$0$$ |
5)
cociente: $$x^4+3x^3+x+1$$
resto: $$0$$
Y se cumple:
$$4=$$grado$$(x^4+3x^3+x+1)=$$grado$$(x^5+2x^4-3x^3+x^2-1)-$$
$$-$$grado$$(x-1)=5-1=4$$
grado$$(0)=0 < 1 =$$grado$$(x-1)$$
En este ejemplo, la división entre los polinomios es exacta, dado que el resto es $$0$$.
Ahora introduciremos un poco más de dificultad en los ejemplos:
Realizar la división $$\dfrac{p(x)}{q(x)}$$, siendo $$p(x)=-x^3+ax^2-x-3$$ y $$q(x)=x+1$$, e imponer el valor del parámetro $$a$$ para que la división sea exacta.
El procedimiento es el mismo, pero deberemos realizar las multiplicaciones y sumas considerando a una incógnita. Así, llegado al final, impondremos que el resto sea $$0$$. Así pues:
1)
$$p(x)=-x^3+ax^2-x-3$$
$$q(x)=x-(-1)$$.
2,3,4)
| $$-1$$ | $$a$$ | $$-1$$ | $$-3$$ | |
| $$-1$$ | $$1$$ | $$-a-1$$ | $$a+2$$ | |
| $$-1$$ | $$a+1$$ | $$-a-2$$ | $$a-1$$ |
Para que la división sea exacta:
$$$a-1=0 \Rightarrow a=1$$$
Por el polinomio cociente resulta:
cociente: $$-x^2+2x-3$$
resto: $$0$$