Progresiones aritméticas: definición

Dificultad: 6

Una progresión aritmética es un tipo de sucesión, es decir, una colección ordenada e infinita de números reales, donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior.

Si consideramos la sucesiones que tiene como primeros términos:

$$a=(2,5,8,11,14,\ldots),$$

$$b=(3,1,-1,-3,-5,-7,\ldots),$$

$$c=\Big(1,\dfrac{3}{2},2,\dfrac{5}{2},3,\ldots\Big).$$

Y, en cada una de ellas calculamos la diferencia entre cada término y el anterior:

En $$a$$,

$$\begin{array}{c} \underbrace{2, 5} \\\\ 3 \end{array}$$ $$\begin{array}{c} \underbrace{5, 8} \\\\ 3 \end{array}$$ $$\begin{array}{c} \underbrace{8, 11} \\\\ 3 \end{array}$$ $$\begin{array}{c} \underbrace{11, 14} \\\\ 3 \end{array}$$

En $$b$$,

$$\begin{array}{c} \underbrace{3, 1} \\\\ -2 \end{array}$$ $$\begin{array}{c} \underbrace{1, -1} \\\\ -2 \end{array}$$ $$\begin{array}{c} \underbrace{-1, -3} \\\\ -2 \end{array}$$ $$\begin{array}{c} \underbrace{-3, -5} \\\\ -2 \end{array}$$

En $$c$$,

$$\begin{array}{c} \underbrace{1, \dfrac{3}{2}} \\\\ \dfrac{1}{2} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} \underbrace{\dfrac{3}{2}, 2} \\\\ \dfrac{1}{2} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} \underbrace{2, \dfrac{5}{2}} \\\\ \dfrac{1}{2} \end{array}$$ $$\begin{array}{c} \underbrace{\dfrac{5}{2}, 3} \\\\ \dfrac{1}{2} \end{array}$$

En los tres casos se encuentra que estas diferencias valen siempre el mismo valor: $$3$$ en la primera sucesión, $$-2$$ en la segunda y $$\dfrac{1}{2}$$ en la tercera.

Dicho de otra forma, cada término se obtiene sumando a el anterior un mismo número.

Haciendo una definición formal, diremos que una progresión aritmética, $$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$$, es una sucesión en que la diferencia de cada término con el anterior es constante, es decir:

$$$a_{n+1}-a_n=d$$$

para a cualquier natural $$n$$. Llamaremos a la constante $$d$$ diferencia de la progresión.

Las diferencias de las progresiones $$a$$, $$b$$ y $$c$$ son, respectivamente, $$3,-2$$ y $$\dfrac{1}{2}$$

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