¿Cuántos términos de una progresión geométrica $$a: (1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, \ldots)$$ hay que multiplicar para encontrar el número $$10^{-45}$$?
Desarrollo:
El término general de la sucesión con primer término $$a_1=1$$ y razón $$r=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{0.1}{1}=0.1=\dfrac{1}{10}$$, es
$$$a_n=\dfrac{1}{10^{n-1}}$$$
Queremos encontrar un natural $$m$$ tal que el producto de los $$m$$ primeros términos de la sucesión sea $$10^{-45}$$, es decir, que:
$$$P_m=\prod_{n=1}^m \dfrac{1}{10^{n-1}} = 1^{10}\cdot 10^{-45}$$$
pero sabemos que:
$$$P_m=\sqrt{(a_1\cdot a_m)^m}=\sqrt{ \Big(1\cdot \dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^m}$$$
Y equiparando ambas expresiones, nos queda que:
$$$10^{-45}= \sqrt{ \Big(\dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^m}$$$
Y aislando la variable de esta ecuación racional:
$$$\Big(\dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^{\frac{m}{2}}=10^{-45} \Rightarrow \dfrac{1}{10^{\frac{m}{2}(m-1)}}=\dfrac{1}{10^{45}} \Rightarrow$$$
$$$10^{\frac{m(m-1)}{2}}=10^{45} \Rightarrow \dfrac{m^2-m}{2}=45 \Rightarrow$$$
$$$m^2-m-90=0$$$
Así que solo nos queda resolver esta ecuación de segundo grado:
$$$m^2-m-90=0 \Rightarrow m=\{10,-9\}$$$
Sabemos que $$m$$ debe ser un entero positivo, nos quedamos con la solución $$m=10$$.
Solución:
Es preciso sumar los $$10$$ primeros términos.