Operaciones con números enteros

La suma de números enteros

Como los números enteros tienen $$+$$ o $$-$$ delante, cuando hagamos operaciones con ellos los escribiremos entre paréntesis para no confundirnos con el $$+$$ y el $$-$$ de sumar y restar.

Por ejemplo, si queremos sumar $$+5$$ y $$-6$$ escribiremos: $$$(+5)+(-6)$$$ y si se quieren restar se escribe: $$$(+5)-(-6)$$$

El valor absoluto de un número entero es simplemente el número sin ningún signo (sin el más o el menos). Se escribe entre dos barras verticales, del siguiente modo:

$$|+16|=16$$ (es decir, el valor absoluto de $$+16$$ es $$16$$) $$|-8|=8$$ (es decir, el valor absoluto de $$-8$$ es $$8$$)

Para sumar dos números enteros se siguen los pasos a continuación:

  1. Si los dos números tienen el mismo signo: (es decir, los dos son positivos, o los dos son negativos). Primero se calcula el valor absoluto de cada número. Después se suman los valores absolutos y finalmente se pone el signo que tenían antes.

Para realizar la operación: $$(+9)+(+5)=$$ se siguen estos pasos:

  • Los dos tienen el mismo signo: (el +).
  • Calculamos el valor absoluto: $$|+9|=9, |+5|=5$$.
  • Sumamos los valores absolutos: $$9+5=14$$.
  • Ponemos el signo que tenían antes: $$+14$$. Así pues: $$(+9)+(+5)=14$$
  1. Si los dos números tienen diferente signo: (es decir, uno es positivo y el otro negativo). Primero se calcula el valor absoluto de cada número. Después se restan los dos valores absolutos. Finalmente se pone el signo del que tiene el valor absoluto mayor.

Para realizar: $$(-7)+(+2)=$$ se siguen estos pasos:

  • Tienen signo distinto: $$-7$$ es negativo y $$+2$$ es positivo
  • Calculamos el valor absoluto: $$|-7|=7$$,$$|+2|=2$$.
  • Los restamos: $$7-2=5$$
  • Como el valor absoluto de $$-7$$ es mayor que el de $$+2$$ (porque $$7$$ es mayor que $$2$$), se pone el signo negativo: $$-5$$ Así pues, el resultado es: $$(-7)+(+2)=-5$$

La resta de números enteros

El opuesto de un número entero es el mismo número, pero con signo contrario. Es decir si tiene un más, se le pone un menos; y al revés: si tiene un menos, se le pone un más.

Por ejemplo, el opuesto de $$+4$$ es $$-4$$, y el opuesto de $$-5$$ es $$+5$$. Para el cero, que es el único número entero que no tiene signo, diremos que su opuesto es él mismo: el opuesto de $$0$$ es $$0$$.

Si se restan dos números, el primero se llama minuendo y el segundo se llama substraendo.

Por ejemplo, en la resta: $$(-19)-(+4)$$ el minuendo es el $$-19$$, y el substraendo el $$+4$$.

Para restar dos números enteros se siguen los siguientes pasos:

  1. Se identifica el minuendo y el substraendo
  2. Se calcula el opuesto del substraendo
  3. Se suma el minuendo y el opuesto del substraendo
  4. Éste es el resultado de la resta.

Multiplicación y divisón de números enteros

Para realizar multiplicaciones de números enteros se hará del siguiente modo:

  1. Primero se hace la multiplicación o la división, sin tener en cuenta los signos (es decir, como en el caso de números naturales).
  2. Para saber el signo del resultado, se sigue la siguiente tabla:
**Signo** $$+$$ $$-$$
$$+$$ + -
$$-$$ - +

Los cuadrados amarillos representan el signo de los números que estamos multiplicando, y los blancos el resultado. Es decir, si los dos números tienen el mismo signo el resultado tendrá signo positivo; si los dos números tienen signo distinto, el resultado tendrá signo negativo.

Para hacer divisiones, se hará exactamente del mismo modo y siguiendo la misma tabla.

Potencia de números enteros

Una potencia es una expresión del siguiente tipo: $$(+7)^3$$ El número de abajo se llama base y el número pequeño de arriba se llama exponente. En el ejemplo anterior, el exponente es $$3$$ y la base es $$+7$$, y se dice que $$+7$$ está elevado a $$3$$.

Las potencias sirven para escribir de un modo más corto la multiplicación de un número por sí mismo. Si multiplicamos $$+3$$ cuatro veces, entonces se escribe: $$$(+3)\cdot(+3)\cdot(+3)\cdot(+3)=(+3)^4$$$

El exponente (el número de arriba) indica cuántas veces se multiplica la base (el número de abajo).

Cuando multiplicamos dos potencias con la misma base, los exponentes se suman.

Por ejemplo: $$$(-6)^3\cdot(-6)^2=(-6)^{3+2}=(-6)^5$$$

Cuando dividimos dos potencias con la misma base, los exponentes se restan.

Por ejemplo: $$$(+4)^7\cdot(+4)^5=(+4)^{7-5}=(+4)^2$$$

Pero es muy importante tener claro que esto sólo se puede hacer cuando la base de las potencias que multiplicamos o dividimos es la misma.

Cuando se hace la potencia de una potencia, los exponentes se multiplican:

Por ejemplo: $$$\big((-6)^2\big)^3=(-6)^{2\cdot3}=(-6)^6$$$

Además, si elevamos un número a $$0$$, el resultado siempre es $$1$$:

$$(+13)^0=1$$ $$(-9)^0=1$$

Por otro lado, se pueden hacer potencias de exponente negativo. En este caso, el resultado es $$1$$ dividido por la potencia con el exponente positivo.

Por ejemplo: $$$(+14)^{-6}=\dfrac{1}{(+14)^{+6}}$$$

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