Tomaremos:
$$$ P_ n(x)=\sum_{k=0}^{n}f_k\cdot l_k(x)$$$
donde $$$l_k(x)=\dfrac{\prod_{i\neq k}(x-x_i)}{\prod_{i\neq k}(x_k-x_i)}=$$$ $$$=\dfrac{(x-x_0)\cdot(x-x_1)\cdots \widehat{(x-x_k)} \cdots (x-x_n)}{(x_k-x_0)\cdot(x_k-x_1)\cdots \widehat{(x_k-x_k)} \cdots (x_k-x_n)}$$$
donde el sombrero indica que no aparece este término en el producto.
Es decir, en el numerador multiplicamos por todos los polinomios de grado $$1$$ excepto el $$k$$-ésimo y después dividimos por el producto de todas las diferencias excepto la $$k$$-ésima. Efectivamente, si evaluamos el polinomio en alguno de los $$x_k$$, obtenemos el valor $$f_k$$.
Al polinomio calculado de esta manera se le llama polinomio de Lagrange.
Vamos a ver un ejemplo para tenerlo más claro. Consideremos la tabla de valores:
| $$x_k$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ | $$5$$ |
| $$f_k$$ | $$0$$ | $$2$$ | $$12$$ | $$21$$ |
y queremos calcular el valor $$f(3)$$ aa partir de interpolación. Tenemos pues $$n +1 = 4$$ puntos, por lo tanto $$n = 3$$, la interpolación será cúbica. El polinomio se escribe:
$$P_3(x)=f_0\cdot l_0(x)+f_1\cdot l_1(x)+f_2\cdot l_2(x)+f_3\cdot l_3(x)=$$
$$=2\cdot l_1(x)+12\cdot l_2(x)+21\cdot l_3(x)$$
Tenemos que calcular ahora los polinomios de Lagrange asociados,
$$$ \begin{array}{rl} l_0(x)=& \dfrac{(x-x_1)\cdot(x-x_2) \cdot (x-x_3)} {(x_0-x_1)\cdot(x_0-x_2)\cdot (x_0-x_3)} \\ =&\dfrac{(x-2)\cdot(x-4) \cdot (x-5)}{(1-2)\cdot(1-4)\cdot (1-5)}=\dfrac{-1}{12} (-40+38x-11x^2+x^3)\\ l_1(x)=& \dfrac{(x-x_0)\cdot(x-x_2) \cdot (x-x_3)} {(x_1-x_0)\cdot(x_1-x_2)\cdot (x_1-x_3)} \\ =&\dfrac{(x-1)\cdot(x-4) \cdot (x-5)}{(2-1)\cdot(2-4)\cdot (2-5)}=\dfrac{1}{6} (-20+29x-10x^2+x^3)\\ l_2(x)=& \dfrac{(x-x_0)\cdot(x-x_1) \cdot (x-x_3)} {(x_2-x_0)\cdot(x_2-x_1)\cdot (x_2-x_3)} \\ =&\dfrac{(x-1)\cdot(x-2) \cdot (x-5)}{(4-1)\cdot(4-2)\cdot (4-5)}=\dfrac{-1}{6} (-10+17x-8x^2+x^3)\\ l_3(x)=& \dfrac{(x-x_0)\cdot(x-x_1) \cdot (x-x_2)} {(x_3-x_0)\cdot(x_3-x_1)\cdot (x_3-x_2)} \\ =&\dfrac{(x-1)\cdot(x-2) \cdot (x-4)}{(5-1)\cdot(5-2)\cdot (5-4)}=\dfrac{1}{12} (-8+14x-7x^2+x^3) \end{array} $$$
Así pues el polinomio interpolador es:
$$ P_3(x)=2\cdot l_1(x)+12\cdot l_2(x)+21\cdot l_3(x)= \dfrac{1}{12} (-8+2x+5x^2+x^3)$$
De esta forma, $$f(3)=\dfrac{35}{6}=5.8333\dots$$