Límite de una sucesión

Dificultad: 8

Presentación del concepto de límite

Dada una sucesión, el concepto que en general tiene más interés es el de límite de la sucesión. La definición formal de este concepto puede parecer poco intuitiva a primera vista, así que primero presentamos la idea detrás de la definición.

Consideramos la sucesión $$a_n=\dfrac{1}{n}$$.

Se puede comprovar que es decreciente y acotada inferiormente por $$0$$. Dando valores observamos como la sucesión va tomando cada vez valores más próximos al número $$0$$.

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Esto nos permite decir que los elementos de la sucesión vistos como puntos sobre la recta real se acercan al $$0$$ al aumentar $$n$$. Más rigurosamente, la sucesión tiende a $$0$$ cuando $$n$$ tiende a infinito. Decimos que el límite de la sucesión anterior es $$0$$.

Por otro lado, $$0$$ es la mayor cota inferior de la sucesión (se puede comprovar en la teoría de sucesiones acotadas) y coincide con el límite.

Haciendo un ejercicio de abstracción, dada una sucesión decreciente cualquiera con una cota inferior $$m$$, la mayor posible, podemos repetir el proceso anterior y comprobar como los términos de la sucesión tienden a $$m$$. Es decir, el límite es $$m$$.

Esta idea también es válida para una sucesión creciente con una cota superior $$M$$, la mínima posible. Entonces el límite de la sucesión es $$M$$.

Definición formal de límite

Procedemos a definir ahora el límite de una sucesión a través de la idea anterior. Como hemos visto, el límite de una sucesión es el punto $$M$$ de la recta real si la diferencia entre el término general de la sucesión y $$M$$ es, al aumentar $$n$$, tan próximo al $$0$$ como queramos.

Formalizando, el límite de la sucesión $$\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} $$ es el número $$a$$ si para todo $$m$$ natural fijado podemos encontrar otro número natural $$N$$ de manera que para cualquier $$n > N$$, se cumple que $$$|a_n - a| < \dfrac{1}{m}$$$

El valor absoluto solo es añadido para simplificar la notación ya que equivale a $$$-\dfrac{1}{m} < a_n-a < \dfrac{1}{m}$$$

Si leemos esta definición, nos dice que la diferencia entre los puntos de la sucesión y $$a$$ es menor que $$\dfrac{1}{m}$$. O dicho de otro modo, la diferencia entre los puntos de la sucesión y el número $$a$$ es tan pequeña como queramos.

Esta definición formaliza la idea dada anteriormente: hemos visto, por ejemplo, que la sucesión $$a_n=\dfrac{1}{n}$$ se acerca al $$0$$ tanto como queramos.

Observamos que, de hecho, según esta definición es sencillo comprobar que el límite de la sucesión $$a_n=\dfrac{1}{n}$$ es $$0$$. Hemos de comprobar como para todo $$m$$ podemos encontrar un $$N$$ de manera que $$\Big|\dfrac{1}{n}-0\Big| < \dfrac{1}{m}$$ para todo $$n > N$$. Escogiendo $$N=m$$ se cumple la propiedad y $$0$$ es el límite de la sucesión.

Esta es la definición formal correspondiente a la definición intuitiva de límite. Y nos permite definir el límite de una sucesión cualquiera, aunque no sea monótona.

Por la propia definición de límite, también obtenemos que toda sucesión convergente es acotada, tanto superior como inferiormente ya que eligiendo $$m=1$$ obtenemos $$$-1+a < a_n < 1+a$$$ como queríamos ver.

Para decir que el límite de la sucesión $$a_n$$ es $$a$$ notaremos $$$\lim_{n \to \infty}{a_n}=a$$$

Sucesiones sin límite y clasificación

No toda sucesión tiene límite, como por ejemplo la sucesión $$a_n=(-1)^n$$.

Intuitivamente está claro ya que la sucesión intercala los números $$1$$ y $$-1$$ y no puede acercarse a ningún número, pero es preciso ver formalmente este hecho.

Solo hace falta escoger $$m=1$$ según la definición anterior. Como la sucesión solo tiene dos valores posibles, la condición de límite anterior se traduce en $$-1 < 1-a < 1$$ y $$-1 < -1-a < 1$$.

Restando $$1$$ a la primera desigualdad y sumando $$1$$ a la segunda obtenemos $$-2 < -a < 0$$ y $$0 < -a < 2$$. Y por tanto no hay ningún $$a$$ que cumpla las dos condiciones.

Otro ejemplo de sucesión que no tiene límite es la sucesión $$a_n=n$$. Los valores de esta sucesión aumentan en $$1$$ al aumentar $$n$$ en $$1$$ así que no pueden acercarse a ningún número.

A diferencia del ejemplo anterior, esta sucesión no admite una cota superior. Siguiendo el concepto de proximidad del límite diremos que la sucesión anterior tiende a infinito. Más rigurosamente, diremos que el límite es $$+\infty $$ si la sucesión no es acotada superiormente y $$-\infty$$ si no es acotada inferiormente.

Estos tres ejemplos permiten clasificar las sucesiones de la siguiente manera;

  • Si la sucesión tiene límite diremos que es convergente.
  • Si la sucesión tiende a infinito según el concepto anterior diremos que es divergente.
  • En otro caso simplemente diremos que la sucesión no tiene límite.

Cálculo del límite

Dada una sucesión, el cálculo del límite puede representar un problema difícil de resolver. Vemos algunos casos donde podemos calcular el límite fácilmente.

Consideramos una sucesión donde el término general de la sucesión venga dada por el cociente de dos polinomios. Para calcular el límite de la sucesión es suficiente calcular el grado de los polinomios. Entonces el límite es el siguiente;

  • Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador entonces la sucesión es convergente con límite $$0$$. El ejemplo tipo es $$a_n=\dfrac{1}{n}$$.

  • Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador entonces la sucesión es divergente. Tiende a $$+\infty$$ o a $$-\infty$$ dependiendo del signo del cociente de los coeficientes de grado mayor de los dos polinomios. Los ejemplos tipo son $$a_n=n$$ y $$a_n=-n$$ con límite $$+\infty$$ y $$-\infty$$ respectivamente.

  • Si el grado del polinomio del numerador es igual que el grado del polinomio del denominador entonces la sucesión es convergente con límite igual al cociente de los coeficientes de grado mayor de los dos polinomios. El ejemplo tipo son la sucesiones constantes, pero veamos un ejemplo mas interesante.

Consideramos la sucesión $$a_n=\dfrac{3n^2-7n+34}{-2n^2+11n+21}$$.

Como el numerador y el denominador tienen el mismo grado calculamos el cociente de los coeficientes de grado mayor de los dos polinomios. El coeficiente de grado mayor del numerador es $$3$$ y el del denominador es $$-2$$. Por tanto el límite de la sucesión es $$-\dfrac{3}{2}$$.

Otro caso donde es sencillo el cálculo del límite es para las progresiones geométricas. Dada la sucesión $$a_n=b^n$$ podemos calcular el límite de la sucesión dependiendo de:

  • Si $$b > 1$$ el límite de la sucesión es $$+\infty$$.
  • Si $$b=1$$ la sucesión es constante y tiene límite $$1$$.
  • Si $$-1 < b < 1$$ el límite de la sucesión es $$0$$.
  • Si $$b\leq -1$$ la sucesión no tiene límite.

Por ejemplo, $$a_n=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^n$$ tiene límite $$0$$ ya que $$-1 < \dfrac{1}{2} < 1$$.

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