Introducción a los intervalos

Examínense los siguientes conjuntos de números: $$$A=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 < x < 5 \}$$$ $$$B=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 \leq x \leq 5 \}$$$ $$$C=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 < x \leq 5 \}$$$ $$$D=\{x\in\mathbb{R} \ | \ 2 \leq x < 5 \}$$$

Nótese que los cuatro conjuntos contienen solamente los puntos que están entre $$2$$ y $$5$$ con las excepciones posibles de $$2$$ y/o $$5$$. Estos conjuntos se llaman intervalos y los números $$2$$ y $$5$$ son los extremos de cada intervalo.

Por otra parte, $$A$$ es un intervalo abierto pues no contiene los extremos; $$B$$ es un intervalo cerrado, pues contiene ambos extremos y los conjuntos $$C$$ y $$D$$ no son ni abiertos ni cerrados, pues contienen uno de los dos extremos.

Como los intervalos aparecen con mucha frecuencia en las matemáticas, se emplea generalmente una notación abreviada para designar intervalos. Por ejemplo, los intervalos anteriores se denotan por $$$A=(2,5)=]2,5[$$$ $$$B=[2,5]$$$ $$$C=(2,5]=]2,5]$$$ $$$D=[2,5)=[2,5[$$$

Propiedades de los intervalos

Sea $$\mathbb{R}$$ la familia de todos los intervalos de la recta real. Se incluyen en $$\mathbb{R}$$ el conjunto vacío $$\emptyset$$ y los puntos $$a = [a,a]$$. Tienen entonces los intervalos las propiedades siguientes:

  1. La intersección de dos intervalos es un intervalo; es decir, $$A,B \in \mathbb{R}\Rightarrow A\cap B\in\mathbb{R}$$.

  2. La unión de dos intervalos no disjuntos es un intervalo; es decir, $$A,B \in \mathbb{R}$$ y $$A\cap B\neq\emptyset \Rightarrow A\cup B\in\mathbb{R}$$.

  3. La diferencia de dos intervalos no comparables es un intervalo; es decir, $$A,B \in \mathbb{R}$$ y $$A, B$$ no comparables $$\Rightarrow A-B\in\mathbb{R}$$.

Intervalos infinitos

Los conjuntos de la forma $$$A=\{x \ | \ x > 1 \}$$$ $$$B=\{x \ | \ x \leq 0 \}$$$ $$$C=\{x \ | \ x \in\mathbb{R}\}$$$ se llaman intervalos infinitos y se les denota también por $$$A=(1,\infty)$$$ $$$B=(-\infty,0)$$$ $$$C=(-\infty,\infty)$$$

Conjuntos acotados y no acotados

Sea $$A$$ un conjunto de números, se dice que $$A$$ es un conjunto acotado si $$A$$ es un subconjunto de un intervalo finito. Una definición equivalente de acotación es " El conjunto $$A$$ es acotado si existe un número positivo $$M$$, tal que $$|x|\leq M, \ \forall x\in A$$". Un conjunto se dice no acotado si no es acotado.

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