Estudiar el los intervalos de crecimiento/decrecimiento de las siguientes funciones:
a) $$y=x^2$$
b) $$y=\sin x$$
Desarrollo:
En ambos casos se buscarán dichos intervalos de dos maneras. La primera, más intuitiva, será a partir del gráfico de la función. La segunda, más analítica, se hará a partir del cálculo de la derivada.
a) Véase el gráfico de la función
Intervalos de crecimiento: $$$x\in (-\infty,0) \ \mbox{Estrictamente decreciente}$$$ $$$x\in(0,\infty) \ \mbox{Estrictamente creciente}$$$
Si uno calcula la derivada: $$y'=2x$$
Por lo tanto, para los puntos $$x < 0$$ la derivada es estrictamente negativa, lo cual implica que la función es estrictamente decreciente.
Para los puntos $$x > 0$$ la derivada es estrictamente positiva, o sea que este intervalo la función es estrictamente creciente.
b) Véase primero el gráfico
Intuitivamente se ve que hay intervalos creciente e intervalos decrecientes que se repiten periódicamente. Necesitamos las herramientas analíticas para definir con exactitud dichos intervalos.
Si uno calcula la derivada: $$y'=cos(x)$$.
Intervalos con $$y' > 0: \ \Big(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}{2}\Big),\ldots$$
Intervalos con $$y' < 0: \ \Big(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{9\pi}{2},\dfrac{11\pi}{2}\Big),\ldots$$
En realidad pues hay infinitos intervalos tanto estrictamente crecientes/decrecientes que se repiten periódicamente en el espacio.
Solución:
a) $$x\in (-\infty,0): \ \mbox{estrictamente decreciente}$$; $$x\in(0,\infty): \ \mbox{estrictamente creciente}$$
b) Estrictamente crecientes $$y' > 0: \ \Big(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}{2}\Big),\ldots$$
Estrictamente decrecientes $$y' < 0: \ \Big(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2}\Big),\Big(\dfrac{9\pi}{2},\dfrac{11\pi}{2}\Big),\ldots$$