Interpretación física de la derivada

Dificultad: 6

El mundo de la física nos da una buena herramienta para la comprensión de las derivadas.

Tasa de Variación Media = Velocidad Media

Un conductor recorre los $$20$$ km que separan su casa de su oficina en $$10$$ minutos. ¿Cual es la velocidad media?

Igual que la $$TVM$$, la velocidad media se define como el incremento de distancia $$\Delta d$$ (o sea, la distancia recorrida) dividido por el incremento de tiempo $$\Delta t$$ empleado en recorrerla.$$$\displaystyle v_m=\frac{\Delta d}{\Delta t}=\frac{20 \mbox{ km }}{10 \mbox{ min }}=120 \mbox{ km/h }$$$

Derivada en un punto = Velocidad instantánea

El conductor no va estrictamente a $$120$$ km/h durante todo el trayecto, sino que su velocidad irá variando (no sale del parking de su casa a $$120$$ km/h !).

La velocidad instantánea es la velocidad en un instante preciso. Dicho de otra manera, hacemos que el intervalo de tiempo transcurrido sea prácticamente cero y miramos cual seria la distancia recorrida. $$$\displaystyle v(t)=\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta d}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(a+\Delta t)-f(a)}{\Delta t}$$$ La función velocidad es la función derivada de la función posición (o espacio).

La distancia que recorre una persona en función del tiempo transcurrido es: $$$d(t)=t^2-t+2$$$

  • Calcular la velocidad media en los primeros $$5$$ segundos de movimiento.

El enunciado nos da $$\Delta t= 5s$$. Calculamos la distancia recorrida:$$$\Delta d= d(t=5)-d(t=0)=22-2 \mbox{ metros }$$$ Por lo tanto, $$$\displaystyle v_m=\frac{20 \mbox{ m}}{5\mbox{ s}}= 4\mbox{ m/s}$$$

  • Calcular ahora la velocidad instantánea después de $$t=2s$$ de recorrido.

La velocidad instantánea a los dos segundos de recorrido es la derivada de la distancia en el punto $$t=2$$.

Calculamos la derivada (podemos recurrir a la definición o saber algo más sobre cálculo de derivadas) y obtenemos:$$$d'(t)=2t-1 \Rightarrow d'(2)=2\cdot 2-1=3 \mbox{ m/s}$$$

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