Empezamos con este ejemplo:
Un usuario deposita $$3.000$$ € en una cuenta de ahorro con un interés del $$6\%$$ anual pero en vez de retirar los intereses los mantiene en el depósito, de modo que pasan a engrosar la cantidad invertida y generan así nuevos intereses.
¿Cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo de $$5$$ años?
Si el período de liquidación es anual, es decir el banco ingresa los intereses en la cuenta al finalizar el año, una opción es calcular el interés simple conseguido cada año e ir acumulándolo al total.
Se denominará $$I_1$$ al interés generado en el primer año:
$$$I_1=C\cdot r \cdot t=3.000\cdot 0,06\cdot 1=180€$$$
Si estos $$180$$ € de intereses conseguidos en el primer año se suman a los $$3.000$$ € iniciales, al inicio del segundo año habrá $$3.180$$ € en la cuenta, que será la cantidad inicial para calcular el interés simple de dicho período:
$$$I_2=3.180\cdot 0,06\cdot 1=190,8€$$$
Con lo que al final del segundo año se habrán acumulado $$3.180+190,8 = 3.370,8$$ €, que serán el capital inicial del tercer año:
$$$I_3=3.370,8\cdot 0,06\cdot 1=202,25€$$$
Capital acumulado $$=3370,8+202,25=3573,05€$$
El interés en el cuarto año será:
$$$I_4=3.573,05\cdot 0,06\cdot 1=214,38€$$$
Capital acumulado $$=3573,05+214,38=3787,43€$$
Y, finalmente, al final de los cinco años el total de la cuenta ascenderá a:
$$$I_5=3.787,43\cdot 0,06\cdot 1=227,25€$$$
Total acumulado $$=3787,43+227,25=4014,68$$€
Una manera mucho más rápida de realizar estos cálculos es mediante la relación que define el interés compuesto:
$$$C_f=C\cdot (1+r)^t$$$
Donde $$C_f$$ es el capital final, $$C$$ es el capital inicial, $$r$$ el rédito (el tanto por uno del interés), y $$t$$ es el tiempo.
Al aplicar la relación al ejemplo se obtiene:
$$$C_f=3.000\cdot (1+0,06)^5=3.000\cdot (1,06)^5=3.000\cdot 1,3382=4.014,6€$$$
En este caso, aplicar la relación ha sido inmediato porque el rédito y el tiempo coinciden en que ambos son anuales. No obstante, este caso no suele ser el más frecuente.
Los bancos y las cajas de ahorro manejan períodos de liquidación muy diversos: mensuales, trimestrales, semestrales, anuales, etc. Y claro, no es lo mismo que los intereses engrosen el total invertido al mes siguiente que al cabo de un año. De modo que para que la fórmula del interés compuesto sea cierta hay que expresar el rédito y el tiempo en función del período de liquidación que use el banco.
Por ejemplo:
Un cliente ingresa $$10.000$$ € en una cuenta con un interés anual del $$4,5\%$$. Si los intereses se van acumulando en la cuenta cada trimestre, ¿qué cantidad de dinero habrá al cabo de $$5$$ años? ¿Cuál habrá sido el interés generado en dicho período?
Lo primero que hay que hacer es darse cuenta que el período de liquidación es trimestral y que, por tanto, el rédito y el tiempo deberán expresarse según este dato, es decir, habrá que averiguar el rédito trimestral y el número de trimestres que hay en $$5$$ años.
Para hallar el rédito trimestral, que se denominará $$r(t)$$, se toma la expresión entre paréntesis de la fórmula del interés compuesto y se tiene que cumplir que:
$$$(1+r_t)^4=(1+r)^1$$$
Es decir, el rédito de cuatro trimestres es igual al rédito de un año, puesto que $$1$$ año tiene $$4$$ trimestres.
Sabiendo por el enunciado que $$r = 0,045$$, sólo hay que despejar $$r(t)$$ para conocer este dato. Para ello primero hay que pasar el exponente al otro lado de la igualdad:
$$$ 1 + r_t =(1+r)^{\frac{1}{4}} \Rightarrow r_t=(1+r)^{\frac{1}{4}} -1$$$
Se calcula el rédito trimestral con los datos que se tienen:
$$$ r_t=(1+0,045)^{\frac{1}{4}} -1 = (1,045)^{\frac{1}{4}} -1=1,011-1=0,011$$$
Ahora sólo queda calcular cuántos períodos de liquidación trimestrales hay en $$5$$ años:
Si $$1$$ año tiene $$4$$ trimestres, $$5$$ años tendrán:
$$$4\cdot 5=20 \ \mbox{trimestres}$$$
Con los datos obtenidos ya se puede aplicar la fórmula del interés compuesto para calcular el dinero acumulado al final del período:
$$$C_f=C \cdot (1+r_t)^t$$$
$$$C_f=10.000 \cdot (1+0,011)^20=10.000\cdot (1,011)^20=$$$ $$$=10.000\cdot 1,245 = 12.450€$$$
Con lo que se ha resuelto la primera pregunta del ejercicio. Para hallar la segunda basta con restar la cantidad final y la inicial, puesto que la diferencia entre ambas serán los intereses conseguidos:
$$$12.450-10.000=2.450€$$$
Hay que remarcar la importancia de calcular el rédito según el período de liquidación del modo que se ha realizado en el ejercicio para no llevarse sorpresas.
Por ejemplo, si un banco ofrece un depósito al $$12\%$$ anual con un período de liquidación semestral se podría pensar que el rédito semestral será:
$$$\mbox{Si} \ r_a=0,12 \Rightarrow r_s=\dfrac{0,12}{2}=0,06$$$
Puesto que en un año hay $$2$$ períodos de liquidación semestrales, parece lógico pensar que si el interés anual es del $$12\%$$, el semestral será del $$6\%$$, pero en realidad no es del todo así.
Para demostrarlo sólo hay que calcular el rédito semestral tal y como se ha mostrado en ejercicio anterior:
$$$(1+r_s)^2=(1+r)^1 \Rightarrow 1+r_s=(1+r)^{\frac{1}{2}} \Rightarrow r_s=(1+r)^{\frac{1}{2}} -1$$$
$$$r_s=(1+0,12)^{\frac{1}{2}} -1 = (1,12)^{\frac{1}{2}} - 1=1,0583-1=0,0583$$$
Es decir, el interés semestral no es del $$6\%$$ como se podría pensar sino que es del $$5,83\%$$.
Un último ejemplo:
Una caja de ahorros concedió un préstamo de $$120.000$$ € a una empresa. Al cabo de los $$8$$ años acordados, la caja recibió un total de $$20.599,13$$ € en concepto de intereses, que se cobraban anualmente. ¿Cuál era el interés de dicho préstamo?
Se trata de despejar el rédito de la relación del interés compuesto y pasarlo a porcentaje:
$$$ C_f=C(1+r)^t \Rightarrow \dfrac{C_f}{C}=(1+r)^t \Rightarrow \Big( \dfrac{C_f}{C}\Big)^{\frac{1}{t}}=1+r \Rightarrow$$$
$$$\Rightarrow r=\Big( \dfrac{C_f}{C}\Big)^{\frac{1}{t}} -1$$$
La cantidad final será la inicial más los intereses generados:
$$$C_f=120.000+20.599,13=140.599,13$$$
Ahora se puede calcular el rédito con el resto de datos del enunciado:
$$$r=\Big( \dfrac{140.599,13}{120.000} \Big) ^{\frac{1}{8}} -1 = 1,172^{\frac{1}{8}} -1 = 1,02-1=0,02$$$
De modo que el interés del préstamo era del $$2\%$$.