Supongamos que $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(X)}=\pm \infty$$ y $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=\pm \infty$$, entonces tenemos que $$ \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$$ , y así obtenemos una indeterminación.
Para saber el valor del límite tendremos que fijarnos en la expresión de cada función y encontrar el término de mayor orden. Una vez localizado, en función de su posición (arriba o abajo de la fracción) diremos que el límite es infinito, cero, o en caso de encontrarse en ambos lados de la fracción, el cociente de sus coeficientes principales.
Recordemos las principales funciones ordenadas según el orden de su infinito: $$$\log_{r} x < < x^n << x^m << a^x << b^x << x^x \mbox{ donde } n< m \mbox{ y } b > a > 0$$$
Veamos algunos ejemplos:
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Si $$b>a>0$$ entonces $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^k+log_{r}+a^x}{b^x-a^x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{a^x}{b^x}}=0$$
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$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^2+3^4x^3-x^4}{2x-\ln x+ x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x^4}{x^2}}=- \infty$$
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$$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2e^x-\log_{2}x}{x+1-3e^x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2e^x}{3e^x}}=\frac{2}{3}$$
- $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{(1-x)\cdot 2^x}{(1+x^2)\cdot 2^x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x \cdot 2^x}{x^2\cdot 2^x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-1}{x}}=0$$