Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y superconjuntos

Dos conjuntos $$A$$ y $$B$$ se dice que son iguales, lo que se escribe $$A = B$$ si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de $$A$$ está también contenido en $$B$$ y todo elemento de $$B$$ está contenido en $$A$$. En símbolos: $$$x\in A \Leftrightarrow x\in B$$$

Un conjunto $$A$$ se dice que es subconjunto de otro $$B$$, si cada elemento de $$A$$ es también elemento de $$B$$, es decir, cuando se verifique: $$$x\in A \Rightarrow x\in B$$$ sea cual sea el elemento $$x$$. En tal caso se escribe $$$A\subseteq B$$$

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si $$A\subseteq B$$, se cumpla $$A = B$$. Si $$B$$ tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto $$A$$, pero si todo elemento de $$A$$ es elemento de $$B$$, entonces decimos que $$A$$ es un subconjunto propio de $$B$$, lo que se representa por $$A\subset B$$.

Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto $$A$$ es subconjunto impropio de sí mismo.

Si $$A$$ es un subconjunto de $$B$$, se dice también que $$B$$ es un superconjunto de $$A$$, lo que se escribe $$B\supseteq A$$ y se dice que $$B$$ es un superconjunto propio de $$A$$ si $$B \supset A$$.

Por el principio de identidad, es siempre cierto que $$$x\in A \Rightarrow x\in A $$$ para todo elemento $$x$$, por lo que todo conjunto es subconjunto y superconjunto de sí mismo.

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