Un giro en el plano de centro $$O$$ y ángulo $$\alpha$$ es un movimiento directo que a un punto $$P$$ le hace corresponder otro punto $$P'$$ de forma que:
$$$ \overline{PO}=\overline{P'O'} \quad \text{ y } \quad \widehat{POP'}=\alpha$$$
A la función giro se la representa por $$g(O, \alpha)$$. Al ángulo $$\alpha$$ se le conoce también por el nombre de argumento. Como el giro es una transformación directa e isométrica, podemos asociarle un sistema bidimensional de ecuaciones:
$$$ \begin{pmatrix} x'_1 \\ x'_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} $$$
dónde la matriz:
$$A=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$$
es la matriz de giro y nos dice como se desplazan los elementos del plano mediante la transformación. Nótese, además, que gracias al hecho de que la matriz de giro del sistema está compuesta por senos y cosenos, la transformación giro es periódica de razón $$360^\circ$$.
Como ya hemos dicho anteriormente, el giro es una transformación directa e isométrica, dado que su determinante es $$1$$, lo cual nos dice que cumple la siguiente igualdad:
$$$d (P, Q) = d (g (P), g (Q)) = d (P ', Q')$$$
siendo $$g$$ la función giro con un ángulo $$\alpha$$ arbitrario.
Finalmente, obsérvese que la inversa del giro es un mismo giro pero con el ángulo de giro opuesto, es decir, que su argumento es $$-\alpha$$.
Para finalizar, explicaremos como se procede a la hora de calcular la transformada de los tres objetos más elementales que hay en el plano, como ya hemos hecho en el caso de las traslaciones.
- Giro de segmentos:Para calcular el giro de un segmento, basta con calcular los transformados de los extremos y unirlos para obtener el segmento transformado.
- Giro de rectas: Basta con calcular el transformado de dos puntos de la recta y unirlos para obtener la transformación de la recta.
- Giro de ángulos: Como un ángulo viene dado por la intersección de dos lados, basta con aplicar el giro a cada uno de sus lados para obtener el ángulo transformado.
Se quiere calcular el giro de centro $$O$$ y ángulo $$\alpha= 60^\circ$$ del vector $$x = (2,2)$$.
Mediante la formulación con matrices, nos damos cuenta de que primero tenemos que calcular cuánto vale la matriz de giro.
$$$A=\begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{3}) & -\sin(\frac{\pi}{3}) \\ \sin(\frac{\pi}{3}) & \cos(\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$$
Nótese que en radianes $$60^\circ$$ es $$\dfrac{\pi}{3}$$.
Por lo tanto, el transformado es:
$$$ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\sqrt{3} \\ 1+\sqrt{3} \end{pmatrix} $$$