Funciones logarítmicas

La función que asigna a la variable independiente $$x$$ el valor de $$f (x) =\log_ax$$ recibe el nombre de función logarítmica en base $$a$$, donde a es un número real positivo distinto de $$1$$.

Observamos que si a un valor $$x$$ le aplicamos la función exponencial de base $$a$$, y a continuación, la función logarítmica en base $$a$$, obtenemos otra vez $$x$$, es decir, $$$\log_a(a^x)=x$$$ Análogamente se cumple que $$$a^{\log_ax}=x$$$ Por tanto las funciones exponencial y logarítmica son funciones inversas.

Gráfica

Como en el caso de las funciones exponenciales, la gráfica de las funciones logarítmicas varía según si la base es mayor o menor que $$1$$.

Veámoslo con el ejemplo de las funciones $$f(x)=\log_2x$$ y $$h(x)=\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}x$$.

Es destacable que las funciones logarítmicas siempre pasen por el punto $$(1, 0)$$ ya que cualquier número elevado a $$0$$ da $$1$$.

$$f(x)=\log_2x$$

imagen

$$\displaystyle f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$$

imagen

Propiedades

A partir de su representación gráfica observamos que las funciones logarítmicas cumplen las propiedades siguientes:

  • Dominio: $$Dom (f) = (0,+\infty)$$
  • Imagen: $$Im (f) = \mathbb{R}$$
  • Cotas: No es acotada.
  • Intersección con los ejes:Corta con el eje horizontal en $$x = 1$$. No corta el eje vertical.
  • Continuidad:Es continua en su dominio.
  • Asíntotas: La recta $$x = 0$$ es una asíntota vertical.
    • Si $$a> 1$$: $$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log_ax=-\infty$$ y $$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_ax=+\infty$$
    • Si $$0 <1$$: $$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \log_ax=+\infty$$ y $$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \log_ax=-\infty$$
  • Periodicidad:No es periódica.
  • Simetrías: No es simétrica.
  • Monotonía: si $$a> 1$$, la función es estrictamente creciente. Si $$a<1$$, la función es estrictamente decreciente.
  • Extremos relativos: No tiene.
  • Inyectividad y exhaustividad:Es inyectiva (las imágenes de puntos diferentes son diferentes), y también es exhaustiva ya que la imagen es todo $$\mathbb{R}$$
Ver problemas