Funciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas

Dificultad: 6

En la gráfica de una función podemos observar determinadas características de las funciones que nos aportan información sobre su comportamiento.

Observad las gráficas de las funciones $$f(x)=x^2$$ y $$g(x)=2x$$

imagen

Para la función $$f$$, observamos que podemos trazar al menos una recta horizontal ( $$y$$ = constante ) que la corte en más de un punto.

Por ejemplo, si consideramos la recta horizontal $$y = 4$$, vemos que hay dos elementos diferentes del dominio de $$f$$, $$x = 2$$, y $$x = -2$$, que tienen la misma imagen $$f (x) = 4$$.

En cambio, cualquier recta horizontal trazada sobre la gráfica de la función $$g$$ corta como máximo un punto de dicha función. Por tanto, no hay dos elementos distintos del dominio que tengan la misma imagen.

Una función $$f$$ es inyectiva si dos elementos distintos cualesquiera de su dominio tienen imágenes distintas por $$f$$, es decir, si se cumple: $$$x_1\neq x_2 \Longrightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$$$

Por tanto observamos que la función $$g$$ es inyectiva mientras que $$f$$ no lo es.

Si consideramos otra vez las funciones $$f$$ y $$g$$, observamos que:

El recorrido de la función $$f$$ son los números reales mayores o iguales que cero, es decir, $$Im(f)=[0,+\infty)$$.

En cambio, el recorrido de la función $$g$$ son todos los números reales, es decir, $$Im(g)=\mathbb{R}$$.

Una función $$f$$ es exhaustiva si su recorrido coincide con el conjunto de los números reales, es decir, si se cumple: $$$Im (f)=\mathbb{R}$$$

Tenemos por tanto que la función $$f$$ no es exhaustiva y en cambio la función $$g$$ si que lo es.

Por último:

Una función es biyectiva si es inyectiva y exhaustiva a la vez.

Así la función $$g$$ del ejemplo es biyectiva mientras que la función $$f$$ no lo es.

Determinad si la función $$f$$ representada en la siguiente figura es inyectiva, exhaustiva y biyectiva:

imagen

Fijémonos en que la función no es inyectiva ya que podemos trazar la recta $$y = 1$$, que corta la gráfica de $$f$$ en más de un punto. Esto significa que distintos valores de la variable independiente $$x$$ tienen la misma imagen.

imagen

En cambio, la función si que es exhaustiva ya que su imagen son todos los números reales, es decir, $$Im (f)=\mathbb{R}$$.

Evidentemente la función no será biyectiva ya que no es inyectiva.

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