Función derivada

Cuando uno quiere tener información de la derivada en todos los puntos a la vez, uno no puede calcular la derivada punto a punto, pues los hay infinitos. Se debe recurrir entonces a la función derivada.

La función derivada asigna a cada punto $$x$$ el valor de la derivada en ese punto. Se define como sigue: $$$\displaystyle f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$$

Veamos el siguiente ejemplo:

$$\displaystyle f(x)=x^2$$

$$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x^2+2x\Delta x}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x+2x=2x$$$ Por lo tanto, $$f '(x) = 2x$$.

Sea $$f(x)=x(3x-1)$$ se calcula la derivada como sigue: $$$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)(3(x+\Delta x)-1)-x(3x-1)}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3(x+\Delta x)^2-(x+\Delta x)-3x^2+x}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{3(x^2+2x\Delta x+\Delta x^2)-3x^2-\Delta x}{\Delta x}=$$$ $$$=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{6x\Delta x+3\Delta x^2-\Delta x}{\Delta x}=6x-1$$$

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