Función constante, lineal y afín

Función constante

Es una función del tipo $$f (x) = k$$, donde $$k$$ es un número real cualquiera. Fijémonos en que el valor de de $$f (x)$$ es siempre $$k$$, independientemente del valor de $$x$$.

Así, por ejemplo, si quisiésemos representar una cantidad que se mantiene constante a lo largo del tiempo $$t$$, utilizaríamos una función constante $$f(t) = k$$, en la que no aparece la variable $$t$$.

Las funciones constantes cortan el eje vertical en el valor de la constante y son paralelas al eje horizontal (y por tanto no lo cortan).

La gráfica de una función constante, por ejemplo $$f (x) = 2$$, es:

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Función lineal

La función de variable real que tiene por ecuación general $$y= mx$$, cuya gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas, se llama función lineal.

En las funciones lineales de este tipo $$(y = mx)$$, el valor de m, que corresponde a un número real, se llama pendiente. El pendiente mide la inclinación de la recta respecto del eje de abscisas.

El pendiente de la recta $$y = -2x$$ es $$-2$$.

El pendiente de la recta $$y = 0$$ es $$0$$.

El pendiente de la recta $$y = 3x$$ es $$3$$.

Es importante entender que como mayor es el valor del pendiente $$m$$, mayor inclinación respecto el eje horizontal posee la recta. Además,

  • Si $$m$$ es positivo ($$m> 0$$), la recta pasa por el primer y por el tercer cuadrantes.

  • Si $$m$$ es negativo ($$m <0$$), la recta pasa por el segundo y cuarto cuadrantes.

  • Si $$m$$ es cero ($$m = 0$$), la recta es horizontal y coincide con el eje de abscisas.

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El pendiente de una recta también puede ser calculado a partir de las coordenadas de un punto de la recta para una función lineal, y de las coordenadas de dos puntos en general para una recta cualquiera.

Veamos la manera general ya que nos servirá también para las funciones afines:

Dados dos puntos de una recta (sea una función lineal o afín), $$(x_1, y_1)$$ y $$(x_2,y_2)$$, podemos calcular el pendiente de dicha recta mediante la expresión: $$$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$$

Dada la siguiente recta que pasa por el punto $$(2,-1)$$:

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podemos calcular el pendiente, ya que además del punto $$A$$, sabemos que pasa por el origen. Así, aplicando la fórmula: $$$\displaystyle m=\frac{-1-0}{2-0}=-\frac{1}{2}$$$

Función afín

La función de variable real que tiene como ecuación general $$y = mx + n$$, cuya gráfica es una recta que no pasa por el origen (si $$n\neq 0$$), se llama función afín.

Como en el caso anterior, $$m$$ es el pendiente de la recta.

Es destacable también que el punto de corte de una función afín $$f(x) = mx + n$$ con el eje de ordenadas es el punto $$(0, n)$$.

Un ejemplo de función afín podría ser $$f (x) = -x +2$$

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Dadas las siguientes funciones, determinad de qué tipo son, en qué punto cortan el eje de ordenadas, el de abscisas, y cuál es su pendiente.

  1. $$f (x) = 2$$
  2. $$f (x) = 2x$$
  3. $$f (x) = 2x +2$$

  4. Se trata de una función constante. Su pendiente es $$0$$ y por tanto es paralela al eje de abscisas. Corta el eje vertical en $$(0,2)$$.
  5. Se trata de una función lineal. Su pendiente es $$2$$. Corta ambos ejes en el punto $$(0,0)$$.
  6. Se trata de una función afín. Su pendiente es $$2$$. Corta el eje vertical en el punto $$(0, 2)$$, y el eje horizontal en $$(-1, 0)$$ (hacemos $$y = 0 = 2x + 2$$ y resolvemos).

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