Toda transformación geométrica se puede escribir como un sistema lineal de matrices, o sea, como un sistema de la forma:
$$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \Leftrightarrow \ \vec{x}=A\cdot\vec{x}+\vec{b} $$$
A continuación, vamos a dar un esquema de clasificación que depende del sistema de ecuaciones anterior.
En el esquema se interpreta que la simetría central es un giro de $$180^\circ$$.
Ésta clasificación es sólo válida cuándo:
- En la simetría axial, el eje de simetría es uno de los ejes de coordenadas.
- En la simetría central o en el giro, el centro es el origen de coordenadas.
En los casos que esto no se cumpla, el esquema anteriormente dado es falso. Para hacer un esquema de clasificación general se necesitarían unos conceptos matemáticos más avanzados.
Sea el sistema de ecuaciones $$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$$
vamos a ver que tipo de transformación se trata. Para empezar, vamos a calcular:
$$$\det (A)=2-(-1)=2+1=3>0$$$
Por lo tanto, se trata de una transformacón directa. Además, como su determinante es distinto de $$1$$, la transformación es una semejanza, por lo tanto, dicha transformación nos triplica las distancias entre los puntos y las longitudes de los segmentos del plano.
Dado el siguiente sistema $$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$$
decir que tipo de transformación es.
Como $$\det (A) = -1$$, la transformación es inversa y la única transformación inversa es la simetría axial. Por lo tanto, esta transformación se trata de una simetría axial de eje el eje de ordenadas.
Finalmente, vamos a dar un ejemplo de giro. Considérese el sistema de ecuaciones siguiente:
$$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$$
Entonces el determinante del sistema es :
$$$\det(a)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}= \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1>0$$$
por lo tanto, se trata de una transformación directa. Además, como $$det (A) = 1$$,se trata de una transformación isométrica y finalmente, como no tenemos término $$b$$, se debe de tratar de un giro.