El perímetro del círculo es: $$$P=2\cdot\pi r$$$
El área del círculo es: $$$A=\pi \cdot r^2$$$
Utilizando proporciones se puede encontrar el área de un sector circular y la longitud del arco: $$$\frac{A_{sector}}{A_{círculo}}=\frac{A_{sector}}{\pi \cdot r^2}=\frac{\beta_{grados}}{360^\circ} \\ \frac{I_{sector}}{perímetro}=\frac{I_{sector}}{2\pi \cdot r}=\frac{\beta_{grados}}{360^\circ}$$$
La misma proporción se puede utilizar con $$\beta$$ en radianes y sustituyendo $$360^\circ$$ por $$2\pi$$.