Ecuaciones reducidas y canónicas de las cuádricas

Dificultad: 9

Nuestro objetivo es pasar de la ecuación general de una cuádrica $$q(x,y,z)=0$$ a una de las ecuaciones canónicas de las cuádricas. Para hacerlo, obtendremos primero las llamadas formas reducidas, para luego, a partir de ellas, obtener las ecuaciones canónicas.

Obtención de las ecuaciones reducidas

Diremos que un polinomio cuadrático $$q(x,y,x)=0$$ es reducido, o que la cuádrica $$Q$$ es reducida, si su forma es una de las siguientes:

  1. CENTRADA: $$\mu_1x^2+\mu_2y^2+\mu_3z^2+\mu$$, con $$\mu_1,\mu_2>0$$ y $$\mu_3\neq 0$$
  2. PARABÓLICA: $$\mu_1x^2+\mu_2y^2-2z$$, con $$\mu_1>0$$ y $$\mu_2\neq 0$$
  3. CILÍNDRICA CENTRADA: $$\mu_1 x^2+\mu_2y^2+\mu$$, con $$\mu_1>0$$ y $$\mu_2\neq 0$$
  4. CILÍNDRICA PARABÓLICA: $$\mu_1x^2-2z$$, con $$\mu_1>0$$
  5. PLANOS PARALELOS: $$\mu_1x^2+\mu$$, con $$\mu_1>0$$

Nuestro objetivo será convertir una ecuación general de una cónica a una que sea de algún tipo anterior. Para conseguirlo, se usa el siguiente resultado:

"Dado un sistema de coordenadas rectangulares $$X=(x,y,z)$$ y un polinomio cuadrático $$q(x,y,z)$$, existe un sistema de coordenadas rectangulares $$X'=(x',y',z')$$ tal que la parte principal del polinomio $$q(x',y',z')$$ tiene la forma $$$\lambda_1 x'^2+\lambda_2 y'^2+\lambda_3 z'^3$$$ con $$\lambda_1,\lambda_2$$ y $$\lambda_3 \in \mathbb{R}$$ lo denominaremos forma diagonal.

Además,$$\lambda_1,\lambda_2$$ y $$\lambda_3$$ son los valores propios de la matriz principal de $$q (x, y, z)$$.

Para empezar, pues, dada una ecuación general de una cuádrica de la forma $$q(x,y,z)=0$$, calculamos primero la matriz principal asociada $$A$$.

Una vez obtenida la matriz principal asociada a la cuádrica, calculamos el polinomio característico para calcular los valores propios de dicha matriz.

Recordemos que para calcular el polinomio característico, se tiene que calcular el determinante $$det(A- \lambda I)$$.

Una vez obtenidos los valores propios, por el resultado anunciado con anterioridad, sabemos que existe un cambio de variables que nos pasa de la ecuación general a una ecuación de la forma $$$\lambda_1 x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2+2px+2qy+2rz+d$$$

Una vez obtenida la primera reducción, vamos a considerar distintos casos para ir obteniendo las distintas formas reducidas.

  • Si $$\lambda_1\lambda_2\lambda_3\neq 0$$, obtenemos una ecuación de la forma $$$\lambda_1 x^2+\lambda_2 y^2+\lambda_3 z^2+2px+2qy+2rz+d$$$ mediante tres completaciones de cuadrado y, si es preciso, un cambio de signo y una reordenación de las coordenadas, nos llevan a una forma reducida del tipo centrado.

  • Si hay exactamente dos $$\lambda_i$$ no nulas, podemos suponer que $$\lambda_3=0$$ y $$\lambda_1\lambda_2 \neq 0$$. Completando el cuadrado otra vez, llegamos a un polinomio de la forma $$$\lambda_1 x^2+\lambda_2 y^2+2rz+d$$$ Ahora se nos abren dos nuevos casos:

    • Si $$r = 0$$, está claro que se trata, quizás después de reordenar las coordenadas y de cambiar de signo, de una forma reducida de tipo cilíndrico centrado.
    • Si $$r \neq 0$$, el cambio de $$z$$ por $$z-d/2r$$ nos lleva a una ecuación que tiene la forma $$$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+2rz$$$ con $$r \neq 0$$, que obviamente es equivalente a una forma reducida de tipo parabólico.
  • Finalmente, si hay un único valor propio no nulo, está claro que podemos suponer que este valor propio es $$\lambda_1$$. Completando el cuadrado respecto a este valor propio, podemos suponer que la ecuación es de la forma $$$\lambda_1x^2+2qy+2rz+d$$$ A partir de aquí, otra vez se nos abren dos posibles casos:

    • Si $$q = r = 0$$, el polinomio es claramente equivalente a la forma reducida de un par de planos paralelos.
    • Si uno de los dos valores es diferente de $$0$$, podemos eliminar $$d$$ haciendo el cambio $$$y \longrightarrow y - \frac{d}{2q}$$$ si $$q \neq 0$$ o el cambio $$z \longrightarrow z- \frac{d}{2r}$$, si $$r \neq 0$$.

    Finalmente podemos hacer el cambio de coordenadas rectangulares tal que $$$\displaystyle \Big(x, \frac{1}{p}(qy+rz), \frac{1}{p}(-ry+qz)\Big) \longrightarrow (x',y',z')$$$ donde $$$\displaystyle p=(q^2+r^2)^\frac{1}{2}$$$

    que lleva a una forma reducida de tipo cilíndrico parabólico.

Por lo tanto, en esta primera sección, hemos conseguido llevar una ecuación general de una cuádrica a una ecuación del tipo reducido. A continuación, veremos que a partir de una ecuación reducida se obtiene una ecuación canónica y de ahí, se podrá deducir que cónica es.

Dada la ecuación de la cuádrica $$$q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2yz+2x+2=0$$$ vamos a encontrar qué forma reducida tiene asociada.

Para empezar, calculemos cual es la matriz principal asociada: $$$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix} \Rightarrow det(A-xI)=-x^3+3x^2-2x=-x(x^2-3x+2)$$$ $$$=-x(x-1)(x-2)$$$ Por lo tanto, a la vista de los resultados, vemos que dos valores propios son no nulos y uno es cero. La ecuación de la cuádrica se ha transformado en $$$q(x,y,z)=x^2+2y^2+2x+2=0$$$ Como sólo tenemos un término lineal en $$x$$, completando cuadrados para la $$x$$, obtenemos que la ecuación pasa a ser de la forma $$$q(x,y,z)=(x+1)^2+2y^2+1\approx x^2+2y^2+1=0$$$ Por lo tanto, a la vista de la ecuación, vemos que es la forma reducida del tipo cilíndrico centrado.

Ecuaciones canónicas

Vamos a buscar las distintas ecuaciones canónicas. Esto nos permitirá clasificar cualquier tipo de cuádrica.

Para ir obteniendo los distintos tipos de ecuaciones canónicas, nos iremos centrando en cada una de las formas reducidas y en función de los valores que tomen los distintos parámetros, obtendremos las distintas ecuaciones canónicas.

Cuádricas de tipo centrado

Si $$\mu \neq 0$$ y definimos números reales positivos $$a, b, c$$ por las fórmulas $$$\displaystyle a=\sqrt{\frac{|\mu|}{\mu_1}}, b=\sqrt{\frac{|\mu|}{\mu_2}}$$$ y $$$\displaystyle c=\sqrt{\frac{|\mu|}{|\mu_3|}}$$$ la ecuación reducida adopta la forma $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2} \pm 1=0$$$ y las cuatro posibilidades para los signos dan a lugar cuatro cuádricas: la elección $$(+, +)$$ da un elipsoide imaginario; $$(+,-)$$ da un elipsoide real; $$(-, +)$$ da un hiperboloide no reglado; y $$(-,-)$$ da un hiperboloide reglado.

Por otro lado, si $$\mu = 0$$, definimos los números reales positivos $$a, b, c$$ por las fórmulas $$$\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{\mu_1}}, b=\sqrt{\frac{1}{\mu_2}}$$$ y $$$c=\sqrt{\frac{1}{|\mu_3|}}$$$ con lo cual la ecuación reducida se escribe: $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2} =0$$$

La elección del signo positivo da a lugar a un cono imaginario y la del signo negativo a un cono real.

Cuádricas de tipo parabólico

Definimos números reales $$a$$ y $$b$$ por las fórmulas $$$\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{\mu_1}}$$$ y $$$ \displaystyle b=\sqrt{\frac{1}{|\mu_2|}}$$$

De esta manera, la ecuación reducida adopta la forma $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} -2z=0$$$

La elección del signo positivo da lugar a un paraboloide elíptico, y la del signo negativo, a un paraboloide hiperbólico.

Cilindros centrados

Supongamos primero que $$\mu \neq 0$$. En este caso, si definimos números reales positivos por las fórmulas $$$\displaystyle a=\sqrt{\frac{|\mu|}{\mu_1}}$$$ y $$$\displaystyle b=\sqrt{\frac{|\mu|}{|\mu_ 2|}}$$$ la ecuación reducida adopta la forma $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm 1=0 $$$

La elección $$(+, +) $$ de los signos da lugar a un cilindro elíptico imaginario; $$(+,-)$$ a un cilindro elíptico real; $$(-, +)$$ y $$(-,-)$$ a cilindros hiperbólicos.

Si $$\mu =0$$, podemos definir números reales positivos $$a$$ y $$b$$ por las fórmulas $$$\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{\mu_1}}$$$ y $$$\displaystyle b=\sqrt{\frac{1}{|\mu_2|}}$$$ con lo cual la ecuación reducida adopta la forma $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2}=0 $$$

La elección del signo positivo da a lugar a un par de planos imaginarios conjugados y la elección del signo negativo a un par de planos reales.

Cilindros parabólicos

Si ponemos $$\displaystyle p= \frac{1}{\mu_1}$$ , la ecuación reducida se escribe $$x^2-2py=0$$ que es un cilindro parabólico.

Par de planos paralelos

Supongamos, primero, que $$\mu \neq 0$$. Si ponemos $$$ \displaystyle k=\sqrt{\frac{|\mu|}{|\mu_1 |}}$$$ la ecuación reducida adopta la forma $$x^2 \pm k^2 = 0$$, $$k>0$$.

La elección del signo negativo da un par de planos paralelos, y la del positivo a un par de planos paralelos imaginarios conjugados.

Si $$\mu=0$$, la ecuación reducida es equivalente a una ecuación de la forma $$x^2=0$$, que representa un plano doble (dos planos paralelos coincidentes).

Ahora, vamos a dar un pequeño resumen de como debemos proceder para poder clasificar afinmente las cuádricas mediante todos los resultados anteriormente expuestos.

  • Para empezar, dada la ecuación general de la cuádrica, calculamos la matriz principal asociada $$A'$$. Una vez obtenida la matriz, calculamos el polinomio característico asociado y buscamos sus raíces para así encontrar los valores propios de la matriz $$A'$$. Entonces, la ecuación de la cuádrica pasará a ser de la forma $$\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2+2px+2qy+2rz+d$$.
  • Entonces, dependiendo de si alguno de los valores propios es cero, completaremos cuadrados con las coordenadas que sus valores propios sean no nulos y tengan términos lineales. Esto nos permitirá obtener una de las formas reducidas.
    1. $$\mu_1x^2+\mu_2y^2+\mu_3z^2+\mu$$, con $$\mu_1, \mu_2>0$$, $$\mu_3 \neq 0$$.
    2. $$\mu_1x^2+\mu_2y^2-2z$$, con $$\mu_1>0$$, $$\mu_2 \neq 0$$.
    3. $$\mu_1x^2+\mu_2y^2+\mu$$, con $$\mu_1>0$$, $$\mu_2 \neq 0$$.
    4. $$\mu_1x^2-2z$$, con $$\mu_1>0$$.
    5. $$\mu_1x^2\mu$$, con $$\mu_1>0$$.
  • Una vez tengamos una de las distintas formas reducidas, mediante distintos cambios de coordenadas expuestos en la sección de Ecuaciones Canónicas, obtendremos una de las ecuaciones canónicas. Una vez obtenida, habremos pasado de una ecuación general a una ecuación canónica y por lo tanto, habremos clasificado la cuádrica.

Sea $$$q(x,y,z)=3x^2+2y^2+z^2+1=0$$$ vamos a clasificarla.

Como se puede observar, la primera reducción no será necesaria gracias a que la matriz principal $$A'$$ es ya diagonal. Además, como todos sus valores propios son distintos de cero, la forma reducida de la cuádrica es una de las del tipo centrado.

Finalmente, por el desarrollo de las cuádricas del tipo centrado, tenemos que existen tres números reales positivos, $$a, b, c$$, tales que: $$$\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{3}}, b=\sqrt{\frac{1}{2}} \mbox{ y } c=1$$$ Así pues, la ecuación canónica es $$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b ^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$$ con $$\displaystyle a=\sqrt{\frac{1}{3}}, b=\sqrt{\frac{1}{2}}$$ y $$c=1$$. que es un elipsoide imaginario.

Dada la cuádrica $$$q(x,y,z)=x^2+4xy+2xz+4y^2+4yz+z^2+4x=0$$$ encontrar su ecuación canónica para así, poder clasificarla.

Primero, calculamos su matriz principal y el polinomio característico asociado a dicha matriz: $$$A'=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 &1 \end{bmatrix} \Longrightarrow det(A'-xI)=x^3-6x^2=0$$$ Entonces, las raíces del polinomio característico son $$\lambda_2=\lambda_3=0$$ y $$\lambda_1=6$$.

Por lo tanto, la ecuación de la cónica pasa a ser de la forma $$$q (x, y, z) =6x^2+4x=0$$$ Como sólo tenemos término cuadrático y lineal en $$x$$, hacemos una completación de cuadrados para la $$x$$. Para hacerlo, hacemos el cambio de variable $$x'=x-\frac{1}{9}$$ , y así, la ecuación de la cuádrica pasa a ser de la forma $$$q (x, y, z) =3x^2-\frac{1}{9}=0$$$ Obviamente, a la vista de la ecuación, la cuádrica es un par de planos paralelos.

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