Encuentra dos soluciones de la ecuación diofántica siguiente: $$x^2-y^2=21$$
Desarrollo:
En este caso se tiene que $$n=21$$. Lo que se debe hacer, entonces, es encontrar los divisores de $$21$$. Estos son: $$1, 3, 7$$ y $$21$$.
Además, la única forma de multiplicarlos para que el resultado sea exactamente $$21$$ es:
1) $$1\cdot21=21$$. Los dos son impares, por lo tanto haciendo $$a = 1$$ y $$b = 21$$ se obtiene una solución mediante la fórmula $$\displaystyle \begin{array}{c} x=\frac{a+b}{2} & y=\frac{a-b}{2}\end{array}$$.
2) $$3\cdot7=21$$. Aquí también son los dos son impares, por lo tanto obtendremos otra solución haciendo $$a = 3$$ y $$b = 7$$ y sustituyendo en la fórmula anterior.
Solución:
Las dos soluciones son:
1) Si $$a = 1$$ y $$b = 21$$: $$$x=\dfrac{1+21}{2}=11 \ \ \ \ y=\dfrac{1-21}{2}=-10$$$ Se puede comprobar fácilmente que es solución $$$11^2-(-10)^2=121-100=21$$$
2) Si $$a = 3$$ y $$b = 7$$, entonces la solución es $$$x=\dfrac{3+7}{2}=5 \ \ \ \ y=\dfrac{3-7}{2}=-2$$$ Si se quiere, se puede comprobar que efectivamente es solución $$$5^2-(-2)^2=25-4=21$$$