Resolver la siguiente ecuación: $$(3y+e^x)dx+(3x+\cos y) dy=0$$
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Desarrollo:
Comprobemos que se trata de una EDO exacta. Llamando $$$P(x,y)=3y+e^x$$$ $$$Q(x,y)=3x+\cos(y)$$$ tenemos que comprobar que $$P_y=Q_x$$. En efecto: $$$P_y=3 \ \ \ Q_x=3$$$ Sabemos que $$$U_x=P=3y+e^x \Rightarrow U(x,y)=\int (3y+e^x) dx+h(y)=3y\cdot x+e^x+h(y)$$$ Por lo tanto, sólo nos hace falta calcular la función $$h(y)$$. Impongamos que la $$U$$ obtenida cumpla $$U_y=Q$$: $$$\left . \begin {array} {l} U_y=3x+h'(y) \\ U_y=Q=3x+\cos(y) \end{array}\right\} \Rightarrow h'(y)=\cos(y) \Rightarrow h(y)=\sin(y)$$$ Por lo tanto la solución de la EDO exacta es: $$$U(x,y)=3x\cdot y+e^x+\sin(y)=C, \ C\in\mathbb{R}$$$
Solución:
$$U(x,y)=3x\cdot y+e^x+\sin(y)=C, \ C\in\mathbb{R}$$