La distancia entre un punto $$P$$ y un plano $$\pi$$, $$\text{d}(P,\pi)$$, es la mínima de las distancias entre $$P$$ y un punto cualquiera del plano.
- Si $$P$$ es un punto del plano $$\pi$$, entonces la distancia es cero.
- Si $$P$$ no es un punt del plano $$\pi$$, la distancia de $$P$$ a $$\pi$$ es el módulo del vector $$\overrightarrow{PP'}$$, donde $$P'$$ la proyección ortogonal de $$P$$ sobre el plano $$\pi$$.
Sin embargo, existe una fórmula mucho más práctica (de obtención un poco engorrosa) que presentamos a continuación:
Sea $$P =(p_1,p_2,p_3)$$ y sea $$\pi: Ax+By+Cz+D = 0$$. Entonces,
$$$\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C\cdot p_3+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$$
Calcula la distancia del punto $$P=(-2,0,3)$$ al plano $$\pi:4x+2y-4z+3=0$$.
Podemos aplicar directamente la fórmula: $$$\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C\cdot p_3+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \dfrac{|4\cdot(-2)+2\cdot0-4\cdot3+3|}{\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}} = \dfrac{17}{6}$$$