A continuación mira la tabla que sigue e intenta deducir la norma general:
| $$f (x)$$ | $$f'(x)$$ |
| $$x^2$$ | $$2x$$ |
| $$x^3$$ | $$3x^2$$ |
| $$x^5$$ | $$5x^4$$ |
| $$x^{\frac{1}{2}}$$ | $$\frac{1}{2}x{-\frac{1}{2}}$$ |
| $$2x^2$$ | $$4x$$ |
| $$2x^3$$ | $$6x^2$$ |
| $$5x^6$$ | $$30x^5$$ |
| $$x^n$$ | ? |
| $$Ax^n$$ | ? |
Solución:$$$\begin{array}{ll}f (x) =x^n & f '(x) = nx^{n-1} \\ f (x) = A x^n & f '(x) = A nx^{n-1}\end{array}$$$
Comprueba ahora que los resultados anteriores sean los correctos, sabiendo identificar en cada caso la constante $$A$$ y el valor de $$n$$ en cada caso.
Acaba de encontrarse la fórmula general para derivar cualquier potencia. Se añade que esta fórmula sólo es aplicable cuando $$n$$ es un número racional. Véanse a continuación algunos ejemplos que conviene tener en mente. Ten en cuenta también lo siguiente:
-
Una función raíz cuadrada o cúbica o cualquier tipo de raíz puede reescribirse siempre como una potencia, siendo aplicable entonces la regla de derivación que se ha presentado.
- Cuando $$n=0$$ la derivada es nula, puesto que cualquier número elevado a $$0$$ es $$1$$, que es una constante, y por lo tanto la derivada es nula.
Resumiendo, pues, se ha deducido la fórmula general para derivar tres tipos de funciones fundamentales: función constante, función lineal y una potencia cualquiera. Véase un último recordatorio de lo visto hasta el momento:
| $$f(x)=A$$ | $$f'(x)=0$$ |
| $$f(x)=Ax+b$$ | $$f'(x)=A$$ |
| $$f(x)=Ax^n$$ | $$f'(x)=A\cdot n\cdot x^{n-1}$$ |
y utilícese para los siguientes ejemplos:
a) $$\begin{array}{ll}{f (x) = 30x + 5} & {f '(x) = 30}\end{array}$$
b)$$\begin{array}{ll} {f(x)=4(x + 1)} & {f '(x) = 4} \end {array}$$
c) $$\begin{array}{ll} {f (x) = 3 (5x+2)} & {f '(x) = 15} \end {array}$$
d) $$\begin{array}{ll} {f (x) = 6 (x^4+5)} & {f '(x) = 6 · 4x^3 = 24x^3} \end {array}$$
e) $$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$ $$f'(x)=\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$
f) $$f (x) =\sqrt[3]{\sqrt{x^2}}$$ $$f'(x)=\dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$