Derivar la siguiente función (debes utilizar en la resolución la regla del producto, la del cociente y la regla de la cadena): $$$f(x)=\frac{10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})} \cos(3x+1)}{\ln x}$$$
Desarrollo:
Primero debemos identificar las diferentes funciones elementales, por lo que deberemos utilizar la regla del cociente $$$f'(x)=\dfrac{[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(3x+1)]' \cdot\ln(x)-[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(3x+1)]\dfrac{1}{x}}{\ln(x)^2}$$$
Tendremos que derivar pues la siguiente expresión utilizando la regla del producto:
$$[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(3x+1)]'=[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}]'\cos(3x+1)+10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}[\cos(3x+1)]'$$
Sigamos buscando las derivadas que necesitamos, utilizando ahora la regla de la cadena:
$$[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}]'=10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(\sqrt[5]{x^2})\dfrac{2}{5}x^{-3/5}=\dfrac{4e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(\sqrt[5]{x^2}) }{\sqrt[5]{x^3}} $$
$$[\cos(3x+1)]'=-\sin(3x+1)\cdot3=-3\sin(3x+1)$$
Introduciendo estos resultados,
$$$f'(x)=\dfrac{[\dfrac{4e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(\sqrt[5]{x^2}) }{\sqrt[5]{x^3}}\cos(3x+1)-30\sin(3x+1)e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}] \cdot\ln(x)-[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(3x+1)]\dfrac{1}{x}}{\ln(x)^2}$$$
Solución:
$$$f'(x)=\dfrac{[\dfrac{4e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(\sqrt[5]{x^2}) }{\sqrt[5]{x^3}}\cos(3x+1)-30\sin(3x+1)e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}] \cdot\ln(x)-[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(3x+1)]\dfrac{1}{x}}{\ln(x)^2}$$$