Derivabilidad y su relación con la continuidad

Derivabilidad

La función derivada no siempre existe, pues puede suceder que en algún punto el límite no pueda ser calculado.

Sin embargo existen unas condiciones que nos permiten asegurar la existencia de la función derivada.

Cuando ello sucede se dice que la función f(x) es derivable.

Sea la función definida a trozos: $$$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} x &\mbox{ if } & x<0 \\ x^2& \mbox{ if }& x \geq 0 \end{array} \right.$$$ El punto $$x=0$$ es especial. ¿Existe la derivada en este punto?

Para ver si la derivada existe en el punto $$x=0$$ se utiliza el siguiente método: se busca el valor de la derivada acercándose al punto $$x=0$$ por la izquierda y luego por la derecha.

Si los dos valores existen y coinciden diremos que la función es derivable en $$x=0$$.

Veamos el ejemplo:

Calculamos las derivadas laterales:

Acercarse a $$x=0$$ por la izquierda significa hacer lo siguiente: $$$\displaystyle f'(0^-)= \lim_{\Delta x \ to 0^-}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}$$$

(No hacemos tender $$\Delta x$$ a zero desde todas las direcciones, sino que tenemos que tenr en cuenta que el valor de $$\Delta x$$ tiene que ser negativo).

Al acercarnos por la izquierda estamos en el tramo $$f (x) =x$$, por lo tanto el cálculo es como sigue: $$$\displaystyle f'(0^-)=\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(0+\Delta x)+0}{\Delta x}=1$$$ Al acercarnos a $$0$$ por la derecha la función es $$f(x)=X^2$$ el cálculo es pues: $$$\displaystyle f'(0^+)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{(0+\Delta x)^2+0}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^+}\Delta x=0$$$ (Ahora $$\Delta x$$ tiene que ser positivo)

En este caso, pues, las derivadas laterales (por la izquierda y por la derecha) existen pero su valor no coincide. Por lo tanto la función $$f (x)$$ no es derivable en el punto $$x=0$$.

Resumiendo, tenemos la condición de derivabilidad:

'Una función es derivable en un punto si, y solo si, existen las derivadas laterales en ese punto y sus valores coinciden'.

Además, así en general, uno puede ver que en los picos o puntos angulosos de las funciones, las funciones no son derivables.

En otras palabras, una función es derivable en un punto dado si su gráfica se desplaza suavement a través del punto.

Derivabilidad y continuidad

Una función derivable en un punto $$a$$ es también continua en ese punto $$a$$.

(El recíproco no es cierto, es decir, una función continua en un punto $$a$$ no tiene por qué ser derivable en ese punto)

Vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones.

$$$f(x)=\left\{\begin{array} {rcl} 3 & \mbox{ si } & x < 0 \\ x & \mbox{ si } & x\geq 0\end{array} \right.$$$

Estudiar la continuidad (3 pasos: valor en el punto, límite por la izquierda y límite por la derecha): $$$\begin{array}{l} f(0)=0 \\ \lim_{x \to 0^-}f(x)=3 \\ \lim_{x \to 0⁺}f(x)=0 \end{array}$$$ El valor de la función en $$x=0$$ es nulo, pues la función está definida así.

Sin embargo, al no coincidir los límites por la derecha y la izquierda con el valor de la función en ese punto se dice que esta función no es continua en $$x=0$$.

Como la función no es continua tampoco puede ser derivable.

$$$f(x)=\left\{ \begin{array} {rcl} 0 & \mbox{ si } & x < 0 \\x & \mbox{ si } & x \geq 0 \end{array} \right.$$$ La función es parecida a la anterior, aunque ahora al calcular el límite por la izquierda el resultado también es cero.

Por lo tanto la función es continua en $$x=0$$.

Esto no significa que sea derivable en $$x=0$$. Para ello uno debe hacer los cálculos pertinentes.

Estudiar la derivabilidad (2 pasos: valor de la derivada acercándonos por la izquierda y por la derecha)

$$$\displaystyle \begin{array}{l} f'(0^-)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{0+0}{\Delta x}=0 \\ f'(0^+)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{(0+\Delta x)+0}{\Delta x}=1\end{array}$$$

Los valores no coinciden y por eso se dice que la función $$f (x)$$ no es derivable en el punto $$x=0$$, aunque como se ha visto sí que es continua en este punto.

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