Definición y clasificación de polinomios

Dificultad: 3

Cuando multiplicamos un número (coeficiente) por una incógnita (variable), resulta un monomio. Ahora bien, qué pasaría si en vez de multiplicar los sumásemos?

$$$x^6+10$$$ $$$x+1$$$

Qué pasa cuando sumamos monomios que no son semejantes? Y si los restamos?

Cuando unimos monomios no semejantes mediante sumas y/o restas obtenemos un polinomio.

$$$2x^2+x-1$$$ que es el resultado de sumar los monomios $$2x^2$$ y $$x$$, y restar el monomio $$1$$.

O también $$$3x^5-x^2+x-5$$$ que es el resultado de sumar los monomios $$3x^5$$ y $$x$$, y restar los monomios $$x^2$$ y $$5$$.

En matemáticas, para nombrar polinomios se utiliza una letra seguida de un paréntesis con la variable (o las variables, separadas por comas) del polinomio. Así pues, los ejemplos anteriores serían:

$$p(x)=2x^2+x-1$$ i $$q(x)=3x^5-x^2+x-5$$

Si hubiera más de una variable, como hemos dicho:

$$p(x,y)=x^6y+xy-x$$

$$q(x,y,z)=xyz^2+xyz-xy^3z-zyz+zy-z$$

$$r(x,y,z,t)=xyzt$$

Se debe ir con cuidado en la manera de representar los polinomios, ya que podríamos cometer errores de notación.

$$q(x,y)=3x^2y+4x$$, $$q(x)=3x^2y+4x$$

En el primer polinomio, "$$y$$" actúa como variable. En cambio, en el segundo, la "$$y$$" es un coeficiente (que tiene de valor $$y$$, un número que no conocemos a priori).

Por eso, son dos polinomios diferentes (por ejemplo, el primero es de grado $$3$$ y el segundo de grado $$2$$).

A partir de aquí, y utilizando como ejemplo el polinomio $$p(x)=2x^2+x-1$$, definimos las siguiente características de un polinomio:

  • variable/s del polinomio: incógnita o incógnitas que encontramos en el polinomio. En el polinomio $$p(x), x$$.

  • grado del polinomio: es el exponente mayor de todos los monomios que tiene el polinomio. En nuestro ejemplo, $$max\{2,1,0\}=2$$

  • coeficiente principal: es el coeficiente del monomio de exponente el grado del polinomio. En nuestro caso, $$2$$.

  • término independiente: es el coeficiente del monomio de exponente nulo. Si no existe dicho monomio, es igual a $$0$$. En nuestro caso, es $$-1$$.

Clasificación de polinomios

Podemos clasificar los polinomios según sus características.

Clasificación de polinomios según su grado

  • Grado cero: Son coeficientes.

$$q(x)=-1$$

$$q(x)=\dfrac{1}{2}$$

  • Primer grado:

$$q(x)=x-1$$

$$q(y)=3y-\dfrac{3}{4}$$

$$p(y)=\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4}$$

  • Segundo grado:

$$p(z)=z^2+3z-9$$

$$p(x)=\dfrac{x^2}{3}+2x$$

$$q(z)=z^2-\dfrac{10}{3}$$

  • Tercer grado:

$$r(t)=t^3+t^2+1$$

$$p(t)=\dfrac{t^3}{4}+\dfrac{t^2}{2}-t+10$$

$$q(x)=x^3-\dfrac{1}{4}$$

Y podríamos seguir hasta el número que nos gustase.

Clasificación de polinomios según sus coeficientes

  • Polinomio completo: tiene todos los coeficientes diferentes de cero.

$$p(x)=x^3+x^2+x+1$$

$$p(x,y)=2x^2+y^2-xy+x+y-\dfrac{1}{3}$$

$$r(t)=t^2-4t+9$$

  • Polinomio incompleto: tiene algún coeficiente igual a cero.

$$p(x)=x^3+x+1$$

$$p(x,y)=2x^2+y^2+x+y-\dfrac{1}{3}$$

$$r(t)=t^2-4t$$

  • Polinomio nulo: tiene todos los coeficiente iguales a cero.

$$p(x)=0$$

Clasificación de polinomios según los grados de sus monomios

  • Polinomio ordenado: los monomios aparecen escritos de mayor a menor grado

$$p(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$$

$$q(x)=x^6+x^4+x^2+x+1$$

$$r(x)=x^{100}+x^2+2x$$

  • Polinomio homogéneo: todos sus monomios tienen el mismo grado

$$p(x)=2x$$

$$p(x,y)=3x^2y+4x^3+2xy^2$$

$$p(x,y)=\dfrac{xy}{2}+x^2+y^2$$

  • Polinomio heterogéneo: no todos sus monomios tienen el mismo grado

$$p(x)=2x-1$$

$$p(x,y)=3x^2y+4x^3+2xy^2$$

$$p(x,y)=\dfrac{xy}{2}+x^2y+y^2$$

  • Polinomios iguales: Son aquellos que cumplen:

    • tienen el mismo grado
    • los coeficientes de los monomios de mismo grado son iguales

    $$p(x)=3x^2+1$$

    $$q(x)=1+3x^2$$

    $$p(x,y)=xy+4x-1$$

    $$q(y,x)=-1+4x+yx$$

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