Definición de probabilidad, espacio muestral y suceso seguro e imposible

Definición de probabilidad

"Mañana es probable que llueva". "Al tirar un dado, es más probable sacar un número mayor que cuatro que no un uno". "Es probable que este tema entre en el examen". "Es poco probable que te toque la lotería".

Todos tenemos una noción intuitiva de probabilidad, pero ¿qué es exactamente? Aunque desde hace siglos nos hemos preguntado cómo funciona el azar, o si es posible predecir el futuro, no fue hasta el siglo XVI, con el trabajo de Cardano y Tartaglia cuando se empezaron a hacer avances en resolver matemáticamente estos problemas.

La probabilidad tal como la entendemos hoy nació el siglo XVII, cuando Pierre de Fermat y Blaise Pascal se enviaron una serie de cartas donde intentaban solucionar un problema relacionado con los juegos de apuestas. En ellas, intentaron buscar métodos y una notación matemática para resolver problemas relacionados con la probabilidad.

Podemos pensar qué es la probabilidad con el siguiente ejemplo.

Cogemos un dado y vamos apuntando cuántos cuatros salen cuando lo tiramos $$5, 10, 20, 50$$ y $$100$$ veces. Supongamos que nos sale lo siguiente:

Tiradas Número de cuatros
$$5$$ $$2$$
$$10$$ $$3$$
$$20$$ $$5$$
$$50$$ $$8$$
$$100$$ $$17$$

Ahora fijémonos en la proporción de cuatros respecto al total de tiradas que hemos hecho:

$$$\dfrac{2}{5}=0'4, \ \dfrac{3}{10}=0'3, \ \dfrac{5}{20}=0'25, \ \dfrac{8}{50}=0'16, \ \dfrac{17}{100}=0'17$$$

Después de este experimento podemos preguntarnos: "si vuelvo a tirar el dado, ¿qué probabilidades hay de que salga un cuatro?"

Es verdad que el resultado de la tirada dependerá del azar, pero hemos observado que si hacemos muchas tiradas, lo normal es que salga un cuatro unas $$17$$ veces de cada $$100$$. Por lo tanto, decimos que la probabilidad es aproximadamente del $$17\%$$, o lo que es lo mismo, de $$0'17$$.

De hecho, si lo pensamos un poco, como un dado tiene $$6$$ caras, y todas es igual de probable que salgan, es de esperar que de cada $$6$$ tiradas, una sea un cuatro, es decir, creemos que la probabilidad debería ser $$$\dfrac{1}{6}=0'1\widehat{6}=0'1666\ldots$$$

Esto será la base de la ley de Laplace.

Espacio muestral y sucesos

Un problema empieza: "Tiramos un dado ..." o bien "Tiramos una moneda..." ¿Qué hacemos? Lo primero, tenemos que saber qué resultados pueden salir:

En el caso de la moneda, puede salir ''cara'' ($$C$$) o ''cruz'' ($$+$$).

Si tiramos un dado, "$$1$$","$$2$$","$$3$$","$$4$$","$$5$$" o "$$6$$". Estos son los resultados posibles, también llamados sucesos elementales.

Por supuesto, los sucesos elementales dependen de cada problema. Si tiramos una moneda dos veces, entonces los resultados pueden ser "$$cc$$", "$$c+$$", "$$+c$$", "$$++$$": a la izquierda el resultado de la primera tirada, a la derecha el de la segunda.

Incluso podemos pensar que nuestro experimento es salir a la calle y mirar el primer hombre que encontremos: nuestros sucesos elementales serán si lleva "barba", "barba y bigote", "sólo bigote", o bien está "afeitado".

Al conjunto de todos los resultados posibles se le llama espacio muestral, y se representa habitualmente con la letra griega $$\Omega$$.

Así, en los cuatro ejemplos anteriores, el espacio muestral sería:

$$\Omega=\lbrace \mbox{cara,cruz} \rbrace = \lbrace c,+ \rbrace$$

$$\Omega=\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$$

$$\Omega=\lbrace (c,c), \ (c,+), \ (+,c), \ (+,+) \rbrace$$, que para simplificar podemos escribir $$\Omega=\lbrace cc, \ c+, \ +c, \ ++\rbrace$$

$$\Omega=\lbrace \mbox{barba, barba y bigote, bigote, afeitado} \rbrace$$

Seguimos ahora con el enunciado. "Tiramos un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un cuatro?"

Lo que nos interesa considerar, en este caso, "que salga un cuatro", es lo que llamamos sucesos, que son subconjuntos del espacio muestral.

Así pues, en este caso nuestro espacio muestral es $$\Omega= \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace$$, y nuestro suceso $$A=\mbox{"sacar un cuatro"}=\lbrace 4 \rbrace$$.

También podríamos haber considerado otros sucesos, como por ejemplo, sacar un número par. Entonces, nuestro suceso $$B=\mbox{"sacar un número par"}=\lbrace 2,4,6 \rbrace$$. Si el suceso fuera "sacar un tres o un cinco", entonces, $$C=\mbox{"sacar un tres o un cinco"}=\lbrace 3,5 \rbrace$$.

Podemos pensar que los sucesos son los resultados que queremos considerar de entre todos los resultados posibles, es decir, de entre todo el espacio muestral.

Suceso seguro y suceso imposible

Un suceso seguro es aquel que contiene todo el espacio muestral. Por ejemplo, en nuestro experimento de tirar un dado y mirar el resultado, el suceso $$A=\mbox{"sacar un número menor o igual que "} 6$$ es un suceso seguro, puesto que, salga lo que salga, siempre el resultado será menor o igual que $$6$$. También sería un suceso seguro $$B=\mbox{"sacar un número menor o igual que} \ 2 \mbox{ o mayor o igual que } 3"$$. Por el mismo motivo, fíjate que $$A=B=\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace = \Omega $$.

Puede que no siempre sea evidente si un suceso es seguro.

Suponemos que tiramos dos monedas, y queremos saber si el suceso $$C="\mbox{sacar cara en una de las dos monedas, o bien sacar en las dos lo mismo}"$$ es seguro.

Primero: escribimos el espacio muestral. $$\Omega=\lbrace cc, \ c+, \ +c, \ ++\rbrace$$

Segundo: escribimos nuestro suceso. ¿Por qué sucesos elementales está formado?

Si lo pensamos, vemos que de hecho es un suceso seguro, puesto que, si sale "$$cc$$" o "$$++$$", entonces en las dos monedas sacamos lo mismo, y en los otros dos casos posibles, "$$c+$$" y "$$+c$$", sacamos cara en una de las dos monedas. Es decir, salga el resultado que salga, siempre se cumplirá $$C$$.

Un suceso imposible es el caso contrario, cuando el suceso no contiene ningún elemento del espacio muestral.

Por poner un ejemplo, es el suceso $$A="\mbox{sacar un } 7"$$ al tirar un dado de seis caras, o bien $$B="\mbox{sacar una bola blanca}"$$ de un recipiente que sólo contenga bolas negras.

Normalmente, estos sucesos se representan con $$A=B=\emptyset$$, que es el conjunto vacío, o lo que es lo mismo, estamos diciendo que no hay ningún resultado posible que cumpla el suceso.

Veamos algunos ejemplos:

Tenemos tres urnas, cada una de las cuales tiene bolas blancas y negras. Extraemos una bola de cada urna, y miramos su color.

  1. Describir el espacio muestral del experimento.
  2. Describir el suceso $$A=$$"sacar una sola bola blanca"

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Consideraremos que $$B=$$"bola blanca", $$N=$$"bola negra".

Como sacamos una bola de cada urna, cada suceso elemental de nuestro experimento consiste en tres bolas, que pueden ser blancas o negras. Es decir, $$\Omega=\lbrace BBB,BBN,BNB,BNN,NBB,NBN,NNB,NNN \rbrace$$, donde "BBN" quiere decir: "sacar una bola blanca en la primera urna, blanca en la segunda, y negra en la tercera".

Según lo que nos interese calcular, no sería incorrecto considerar que nuestros sucesos elementales están desordenados, y sólo nos importa el número total de bolas blancas y negras que hemos sacado. En este caso, nuestro espacio muestral sería $$\Omega'=\lbrace BBB,BBN,BNN,NNN \rbrace$$, donde ahora "BBN" tan sólo quiere decir: "sacar dos bolas blancas y una negra", pero normalmente no seguiremos esta forma de calcularlo, puesto que puede llevar a problemas a la hora de contar probabilidades.

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Podemos sacar una bola blanca en cualquiera de las tres urnas. Por lo tanto, todos los sucesos que nos interesan son: $$BNN, NBN, NNB$$. Es decir, $$A= \lbrace BNN, NBN, NNB \rbrace$$.

Lanzamos un dado de ocho caras. Si sale un uno, volvemos a tirar el dado una sola vez más, y sumamos los resultados.

  1. ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?
  2. Describe los sucesos $$A=$$"sacar un número más pequeño que dos", $$B=$$"sacar un cinco o un seis", $$C=$$"sacar un múltiplo de tres".

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Cuando lanzamos un dado de ocho caras, los resultados que nos pueden salir son $$\lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8 \rbrace$$.

Ahora bien, en nuestro experimento, cuando nos sale un uno, volvemos a tirar el dado, y de nuevo podemos obtener un número entre $$1$$ y $$8$$.

El resultado más pequeño que podemos obtener es un $$2$$ (si sacamos un $$1$$ la primera vez, y otro $$1$$ la segunda), y el resultado más grande es $$9$$ (si sacamos un $$1$$ la primera vez, y un $$8$$ la segunda). Por lo tanto, nuestro espacio muestral es $$\Omega=\lbrace 2,3,4,5,6,7,8,9 \rbrace $$.

Fijémonos que "$$1$$" no es un suceso elemental de nuestro experimento, ya que nunca podremos obtener un total de uno, sumando las dos tiradas.

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No podemos obtener un resultado estrictamente menor que $$2$$, por lo que $$A=\emptyset$$. Es decir, $$A$$ es un suceso imposible.

Los sucesos que cumplen $$B$$ son el $$5$$ y el $$6$$, ya que si sale cualquiera de los dos, se cumple el suceso. Por lo tanto, $$B=\lbrace 5,6 \rbrace$$.

Para calcular $$C$$, tenemos que mirar cuáles son los múltiplos de tres de nuestro espacio muestral. En nuestro caso, tenemos $$3,6,9$$. Por lo tanto, $$C=\lbrace 3,6,9 \rbrace$$.

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