El primer paso para transformar un número decimal en otro en base $$b$$ es realizar sucesivas divisiones enteras del número por la base $$b$$.
¿Cómo se expresaría el número $$7$$ en un sistema de numeración en base $$5$$?
Para ello habrá que dividir $$7$$ entre $$5$$ y retener el cociente y el resto:
$$(7)_{10} \Rightarrow \begin{eqnarray} &7 & |\underline{5} \\ & \fbox{2} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$
El número buscado tiene como primera cifra el resultado de la división, y como segunda, el resto.
Así, el equivalente de $$7$$ en base $$5$$ será:
$$(12)_5$$
Se puede comprobar que la operación es correcta descomponiendo el número tal y como se ha visto en el nivel anterior:
$$(12)_5=1\cdot5^1+2\cdot5^0=5+2=7$$
Siguiendo en la misma línea, el número $$13$$ equivale en binario (sistema en base $$2$$) a:
$$\begin{eqnarray} &(13)_{10} \Rightarrow & 13 & |\underline{2} & & & \\ & & \fbox{1} & 6 & |\underline{2} & \\ & & & \fbox{0} & 3 & |\underline{2} \\ & & & & \fbox{1} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$
La primera cifra del número buscado es el resultado de la última división, la segunda el resto de la misma, y la tercera y la cuarta cifras son los restos de las divisiones anteriores, así que el número obtenido es:
$$(13)_{10}=(1101)_2$$
Se puede volver a comprobar que los cálculos son correctos descomponiendo el número obtenido:
$$(1101)_2=1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=8+4+0+1=13$$
Transformar el $$47$$ a sistema hexadecimal:
Hexadecimal implica base $$16$$, así que habrá que dividir $$47$$ entre $$16$$ tantas veces como se pueda para hallar el número:
$$(47)_{10} \Rightarrow \begin{eqnarray} &47 & |\underline{16} \\ & \fbox{15} & \fbox{2} \end{eqnarray}$$
Por lo que:
$$(47)_{10}=(2(15))_{16}=(2F)_{16}$$
Cabe recordar que el símbolo para expresar $$15$$ en hexadecimal es $$F$$.
Descomponer el número en potencias de $$16$$ permite corroborar que el resultado es correcto:
$$(2F)_{16}=2\cdot16^1+15\cdot16^0=32+15=47$$
Para transformar el siguiente número a sistema binario:
$$(115)_6$$
Primero hay que pasarlo a sistema decimal y luego convertirlo a binario realizando todas las posibles divisiones enteras entre $$2$$.
$$(115)_6=1\cdot6^2+1\cdot6^1+5\cdot6^0=36+6+5=47$$
$$\begin{eqnarray} &(47)_{10} \Rightarrow & 47 & |\underline{2} & & & & & \\ & & \fbox{1} & 23 & |\underline{2} & & & & \\ & & & \fbox{1} & 11 & |\underline{2} & & & \\ & & & & \fbox{1} & 5 & |\underline{2} & & \\ & & & & & \fbox{1} & 2 & |\underline{2} \\ & & & & & & \fbox{0} & \fbox{1} \end{eqnarray}$$
De modo que:
$$(115)_6=(101111)_2$$