El análisis de una función requiere también poder determinar la concavidad o convexidad por intervalos. En otras palabras se trata de determinar el tipo de curvatura de la función.
Decimos que una función $$f$$ es cóncava en un intervalo $$(a,b)$$ si para todo $$x \in (a,b) f''(x)<0$$ . Por el contrario, diremos que una función $$f$$ es convexa en un intervalo $$(a,b)$$ si para todo $$x \in (a,b) f''(x)>0$$.
Pero, ¿cómo podemos encontrar los intervalos de concavidad y convexidad?
Estudio de la concavidad de una función
- Se halla la segunda derivada de $$f(x)$$ y se hallan también sus raíces
$$f(x)=3x^3-6x+1 \Rightarrow f'(x)=9x^2-6 \Rightarrow f''(x)=18x \\ f''(x)=18x=0 \Rightarrow x=0$$
- Separamos por intervalos limitados por los ceros de la segunda derivada acabados de encontrar y las discontinuidades de la función (si las hay)
En este caso, habrá solo dos intervalos, separados en el cero. Es decir, los números negativos forman un intervalo y los positivos otro.
- Se toma un valor cualquiera de cada intervalo y se determina la derivada segunda en ese valor:
$$f''(-1)=-18 <0 \Rightarrow$$ Cóncava
$$f''(1)= 18>0 \Rightarrow$$ Convexa
Es decir, si en un punto del intervalo la derivada segunda es negativa, la curvatura se llama cóncava; si en un punto de un intervalo la derivada segunda es positiva, la curvatura se llama convexa.
- Se da la concavidad de los intervalos.
El intervalo de los números negativos es cóncavo, mientras que el de los positivos es convexo.
Sea $$f(x)=x^5-2x^2+3x$$
- $$f''(x)=20x^3-4 \\ f''(x)=0 \Rightarrow x \approx 0.58$$
- Hay dos intervalos: $$(- \infty, 0.58), \ (0.58, \infty)$$
- Se elige un punto cualquiera de cada intervalo:
$$f''(0)=-4 < 0 \Rightarrow$$ Cóncava
$$f''(1)=16 > 0 \Rightarrow $$ Convexa
- Se da el resultado
$$(-\infty, 0.58)$$ Cóncavo
$$(0.58, \infty)$$ Convexo
