Cálculo de imágenes y antiimágenes

Consideremos la función $$f(x)=x^2+1$$.

A partir de su expresión analítica podemos calcular la imagen de cualquier elemento $$x$$ del conjunto de salida. Para hacerlo basta con sustituir el valor de $$x$$ en la expresión de la función.

Para $$x = 2$$: $$$f(2)=2^2+1=4+1=5$$$

Por tanto, $$5$$ es la imagen de $$2$$ por la función $$f$$.

Escribiremos $$f (2) = 5$$.

Podemos calcular también la antiimagen o las antiimágenes de cualquier elemento $$y$$ del conjunto de llegada. Para hacerlo basta con sustituir el valor de $$y = f (x)$$ en la expresión de la función y aislar $$x$$.

Por ejemplo, la antiimagen de $$y = 10$$ es: $$$\begin{array}{rcl}10&=&x^2+1 \\ x^2&=&9 \\ x&=& \pm 3\end{array}$$$

Por tanto, $$3$$ y $$-3$$ son antiimágenes de $$10$$ por la función $$f$$. Escribiremos: $$$f^{-1}(10)=\{-3, 3\}$$$

Calculad la imagen de $$2$$ y la antiimagen de $$11$$ por la función del ejemplo anterior $$f(x)=3x^2-1$$.

$$f^{-1}(11)$$: $$$\begin{array}{rcl}11 &=& 3x^2-1 \\ 12 &=& 3x^2 \\ x^2&=& 4\\x&=& \pm2=\{-2,2\}\end{array} \Longrightarrow f^{-1}(11)=\{-2,2\}$$$

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