Per trobar el terme general d'una progressió geomètrica utilitzant la fórmula que les caracteritza, escrivim una expressió que les defineix recursivament: $$$a_{n+1}=a_n \cdot r$$$
Si apliquem aquesta llei recursivament per construir la successió, obtenim que:
$$$a_2=a_1\cdot r$$$ $$$a_3=a_2\cdot r=(a_1\cdot r)\cdot r=a_1(r\cdot r)=a_1\cdot r^2$$$ $$$a_4=a_3\cdot r=(a_1\cdot r^2)\cdot r=a_1(r^2 \cdot r)=a_1\cdot r^3$$$ $$$a_5=a_4\cdot r=(a_1\cdot r^3)\cdot r=a_1(r^3 \cdot r)=a_1\cdot r^4$$$ $$$\ldots$$$
I, en general tenim que $$$a_n=a_1 \cdot r^{n-1}$$$ Aquesta expressió ens relaciona qualsevol terme de la successió amb el primer a través de la raó de la progressió, és a dir, és el terme general de la progressió geomètrica.
Volem trobar que nombre ocupa la posició $$37$$ en la successió $$\Big(\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2},1,2,\ldots\Big).$$
Observem que es tracta d'una progressió geomètrica perquè el quocient entre dos termes consecutius és constant i igual a $$2$$.
Com el primer terme és $$a_1=\dfrac{1}{8}$$, i la raó és $$r=2$$, ens queda que: $$$a_n=\dfrac{2^{n-1}}{8}=\dfrac{2^{n-1}}{2^3}=2^{n-4}$$$
Com volem trobar el terme $$a_{37}$$, tenim que: $$$a_{37}=2^{37-4}=2^{33}=8.589.934.592$$$
Els termes d'una progressió geomètrica es poden expressar a partir de qualsevol altre terme amb la següent expressió: $$$a_m=a_k \cdot r^{m-k}$$$ ja que, si apliquem el terme general a les posicions $$m$$ i $$k$$, tenim que $$$a_m=a_1 \cdot r^{m-1}$$$ $$$a_k=a_1 \cdot r^{k-1}$$$ fent quocient d'aquestes dues expressions obtenim: $$$\dfrac{a_m}{a_k}=\dfrac{a_1 \cdot r^{m-1}}{a_1 \cdot r^{k-1}}=\dfrac{r^{m-1}}{r^{k-1}}=r^{m-1-(k-1)}=r^{m-1-k+1}=r^{m-k}$$$ D'on tenim: $$$a_m=a_k \cdot r^{m-k}$$$
En una progressió geomètrica de raó $$r=\dfrac{1}{2}$$ es té que $$a_{17}=24$$, i es vol trobar el terme $$a_{24}$$.
Sabem que $$a_m=a_k \cdot r^{m-k}$$, i per tant:
$$$a_{24}=a_{17}\cdot r^{24-17}=a_{17}\cdot r^7=24 \cdot \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^7=\dfrac{24}{2^7}=\dfrac{3\cdot2^3}{2^7}=\dfrac{3}{2^4}=\dfrac{3}{16}$$$
Així que $$a_{24}=\dfrac{3}{16}.$$