Definiu l'equació d'una paràbola del tipus $$y=a\cdot x^2+b$$, con $$a > 0$$ i la d'una circumferència. Trobeu els seus punts de tall, si n'hi ha.
Desenvolupament:
Es defineixen, respectivament, la paràbola i la circumferència $$$\left\{ \begin{array} {rcl} y & = & x^2+3 \\ y^2+x^2 &=& 25 \end{array}\right.$$$
Abans de començar a resoldre el sistema, s'analitza gràficament el sistema. Es té una circumferència centrada en l'origen i una paràbola amb el vèrtex en $$x = 0$$. Així doncs, el sistema tindrà:
- Cap solució, si el vèrtex de la paràbola queda per sobre o bé molt per sota de la circumferència.
- Una solució, si el vèrtex és tangent al punt superior de la circumferència.
- Dues solucions simètriques respecte a l'eix $$y$$, si la paràbola talla la circumferència en dos punts.
Per facilitar la resolució, es practica substitució de la variable $$x$$, però elevada al quadrat.
$$E1: \ x^2=y-3$$
$$E2: \ y^2+(y-3)^2=25 \Rightarrow 2y^2-6y-16=0 \Rightarrow y=\dfrac{6\pm\sqrt{36+128}}{4}$$
Per a obtenir $$y > 0,$$ $$$y_1=4,7 \Rightarrow x_1=1,3$$$
I per simetria de la solució: $$$y_2=4,7 \Rightarrow x_2=-1,3$$$
Solució:
$$\left\{ \begin{array} {rcl} y & = & x^2+3 \\ y^2+x^2 &=& 25 \end{array}\right.$$
$$p=(4,7;1,3) \\ q=(4,7;-1,3)$$