Simplificació d'expressions amb factorials

Una expressió factorial es pot escriure utilitzant el següent recurs: $$$n! = n \cdot (n-1)!$$$

Això permet simplificar termes quan els factorials apareixen en fraccions.

Per exemple, per calcular una expressió com: $$$\dfrac{8!}{6!\cdot3!}$$$ hem de tenir en compte que en el numerador $$8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 8\cdot7\cdot6!$$ (hem parat el desenvolupament en el $$6!$$ perquè és el terme que apareix en el denominador i d'aquesta manera el podrem simplificar). Per tant, $$$\dfrac{8!}{6!\cdot3!}=\dfrac{8\cdot7\cdot\cancel{6!}}{\cancel{6!}\cdot3!}= \dfrac{8\cdot7}{3\cdot2}=\dfrac{28}{3}$$$

Calculem el valor de: $$$\dfrac{14!\cdot6!}{13!\cdot7!}$$$ En aquest cas jugarem amb els desenvolupaments del numerador i denominador per tenir el major avantatge en la simplificació, $$14! = 14 \cdot 13!$$ i $$7! = 7\cdot6!$$:

$$$\dfrac{14!\cdot6!}{13!\cdot7!}=\dfrac{14\cdot \cancel{13!}\cdot \cancel{6!}}{\cancel{13!}\cdot7\cdot\cancel{6!}}=\dfrac{14}{7}=2$$$

El mateix mètode es pot utilitzar per expressions literals (aquelles en les que en comptes de nombres apareixen lletres): $$$\dfrac{x!}{(x-1)!}=\dfrac{x\cdot \cancel{(x-1)!}}{\cancel{(x-1)!}}=x $$$

L'exemple pot ser tan complicat com es vulgui, però la solució sempre serà senzilla: $$$\dfrac{(m-2)!\cdot x!}{(x-1)!\cdot m!}=\dfrac{(m-2)!\cdot x\cdot\cancel{(x-1)!}}{\cancel{(x-1)!}m\cdot (m-1)!}= \dfrac{\cancel{(m-2)!}\cdot x}{m\cdot(m-1)\cdot\cancel{(m-2)!}}= \dfrac{x}{m\cdot(m-1)} $$$