Per resoldre una equació trigonomètrica seguirem els següents passos:
1) Desenvolupem les expressions, fins a obtenir una sola expressió trigonomètrica igualada a un nombre.
2) Obtindrem una igualtat de les següents: $$$\begin{array}{rcl}\sin u &=& a \\ \cos u &=& b \\ \tan u &=& c \end{array}$$$ on $$u$$ és una funció de $$x$$.
3) Resolem cada un dels casos prenent l'arc de les funcions corresponents en els dos membres:
$$\sin u=a \Rightarrow \arcsin (\sin u)=\arcsin a \Rightarrow $$
$$$u=\left\{\begin{array}{l} \arcsin a+ 2k\cdot \pi \\ (\pi-\arcsin a)+2k\cdot \pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z} $$$
$$\cos u=b \Rightarrow \arccos (\cos u)=\arccos b \Rightarrow$$
$$$u=\left\{\begin{array}{l} \arccos b+ 2k\cdot \pi \\ (2\pi-\arccos b)+2k\cdot \pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$$$
$$\tan u = c \Rightarrow \arctan (\tan u)=\arctan c \Rightarrow u=\arctan c+ \pi \cdot k$$
4) Un cop trobada $$u$$, aïllem la $$x$$.
Anem a resoldre la següent equació trigonomètrica: $$$\sin ^2x- \cos ^2x=\displaystyle \frac{1}{2}$$$
Primer de tot aïllem de l'equació el $$\sin^2x$$: $$$\sin ^2x=\displaystyle \frac{1}{2}+\cos ^2 x$$$
A partir de la relació $$$\sin^2x+\cos^2x=1 \Rightarrow \cos^2x=1-\sin ^2x$$$ Substituint en la nostra equació: $$$\displaystyle sin^2x=\frac{1}{2}+\cos^2x=\frac{1}{2}+1-\sin^2x=\frac{3}{2}-sin^2x \Rightarrow 2\sin^2x=\frac{3}{2} \Rightarrow$$$ $$$\Rightarrow \sin^2x=\frac{3}{4} \Rightarrow \sin x=\pm \sqrt {\frac{3}{4}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$$ Ara ja hem aconseguit obtenir una raó trigonomètrica igualada a un nombre.
Apliquem ara la relació 3.i en els dos possibles casos:
Cas (a): $$$\sin x=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x= \left\{\begin{array} {l} \frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \pi-\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k=\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot k\end{array}\right. , k \in \mathbb{Z}$$$
Cas (b): $$$\sin x=\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x= \left\{\begin{array} {l} -\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \pi+\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k=\frac{4\pi}{3}+2\pi\cdot k\end{array}\right. , k \in \mathbb{Z}$$$ Així doncs obtenim la següent solució: $$$x=\left\{\begin{array}{l} \frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot k \\ -\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \frac{4\pi}{3}+2\pi\cdot k\end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$$$