Donat el triangle rectangle $$ABC$$, considereu l'alçada del triangle respecte l'angle recte. Siguin $$x$$, $$y$$ els angles corresponents a la partició de l'angle mitjançant l'alçada, calculeu quant valen els següents valors: $$\sin(2x)$$, $$\tan (x-y)$$ i $$\cos (2y)$$.
Desenvolupament:
Els angles $$x$$ i $$y$$ són complementaris. Per tant, sabem que $$$ \sin(x+y)= \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)=1$$$
D'altra banda, si fem el dibuix de la figura observem que el triangle $$ABC$$ és la unió de dos triangles més petits $$ABD$$ i $$ADC$$. Així, doncs, tenint en compte que la suma de tots els angles d'un triangle ha de ser $$180^\circ$$, obtenim que:
- $$180=90+30+x \Rightarrow x=180-90-30=60$$
- $$180=90+60+y \Rightarrow y=180-90-60=30$$
Llavors, $$$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)= 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$$
$$$ \tan (x-y)= \dfrac{\tan(x)-\tan(y)}{1+\tan(x)\tan(y)}= \dfrac{\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}} {1+\sqrt{3}\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$$
$$$ \cos(2y)=\cos^2(y)-\sin^2(y)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2} $$$
Solució:
$$\sin(2x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\tan (x-y)= \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
$$\cos(2y)=\dfrac{1}{2} $$