Donades les fraccions algebraiques $$\dfrac{x+3}{x^2-9}$$ i $$\dfrac{x^2}{(x^2+2)\cdot(x+3)}$$, trobar dues fraccions algebraiques equivalents amb comú denominador.
Desenvolupament:
Només cal seguir els passos:
- Factoritzar:
$$x^2-9=(x+3)\cdot(x-3)$$
$$(x^2+2)\cdot(x+3)$$
- Calcular el mínim comú múltiple (mcm) dels polinomis denominadors:
$$mcm\{x^2-9,(x^2+2)\cdot(x+3)\}=mcm\{(x-3)\cdot(x+3),(x^2+2)\cdot(x+3)\}=$$
$$=(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)$$
- Dividim el mcm per cada denominador i el multipliquem pel numerador respectiu. El resultat és el numerador de la fracció algebraica, el denominador és el mateix mcm.
$$\dfrac{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}{x^2-9}=x^2+2 \Rightarrow (x+3)\cdot(x^2-9)=x\cdot(x^2-9)+3\cdot(x^2-9)=$$
$$=x^3+3x^2-9x-27 \Rightarrow \dfrac{x^3+3x^2-9x-27}{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}$$
$$\dfrac{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}{(x^2+2)(x+3)}=x-3 \Rightarrow x^2\cdot(x-3)=x^3-3x^2 \Rightarrow $$
$$\Rightarrow \dfrac{x^3-3x^2}{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}$$
Solució:
$$\dfrac{x^3+3x^2-9x-27}{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}$$ i $$\dfrac{x^3-3x^2}{(x^2+2)\cdot(x+3)\cdot(x-3)}$$