Donada la recta $$r:\left\{\begin{array}{rcl} 2x-y+z-2&=&0 \\ x+y+2z-7&=&0\end{array}\right.$$ determinar la seva posició relativa amb la recta $$s: (x, y, z) = (1, 2, 3) + k \cdot (-1, 2, 0)$$.
Desenvolupament:
Comencem calculant la posició relativa entre les dues rectes. Ho farem de manera geomètrica i per això necessitem un vector director de $$r$$.
Fixem-nos que l'equació implícita de la recta en realitat consta de dues equacions de dos plans que es tallen determinant una recta.
Per tant, podem cercar un vector director de $$r$$, $$\overrightarrow{v}$$ fent el producte vectorial entre els vectors normals dels plans:
$$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{n_1}\times\overrightarrow{n_2}=\left|\begin{matrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} \right|=-2i+j+2k+k-4j-i=-3i-3j+3k=(-3,-3,3)$$$
Podem agafar per simplicitat $$\overrightarrow{v}=(1,1,-1)$$, encara que ja observem que les rectes no són paral·leles ni coincidents ja que els seus vectors directors $$\overrightarrow{u}=(-1, 2, 0)$$ i $$\overrightarrow{v}=(1, 1,-1)$$ no són paral·lels.
Busquem punts $$A$$ pertanyent a $$r$$, i $$A'$$ pertanyent a $$s$$: $$$A=(0,1,3) \ \ ; \ \ A'=(1,2,3) \Rightarrow \overrightarrow{AA'}=(1,1,0)$$$
Mirem finalment si $$\overrightarrow{AA'}$$, $$\overrightarrow{u}$$ i $$\overrightarrow{v}$$ són linealment dependents o independents: $$$\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right|=-2-1=-3$$$
Per tant els vectors són linealment independents i les rectes es creuen.
Solució:
Les rectes $$r$$ i $$s$$ es creuen.