Es disposen de $$4$$ tanques de $$10$$m cada una amb les que hem de limitar un jardí. Quants metres quadrats tindrà com a màxim el jardí?
Desenvolupament:
Al tancar un espai amb $$4$$ tanques de $$10$$ m, aquest tindrà forma de rombe. El problema pot traduir-se, matemàticament, a maximitzar l'àrea d'un rombe amb els costats fixats ($$10$$m).
Construeixo la funció a maximitzar. Sigui un rombe de costat $$10$$m a la seva diagonal llarga li diem $$y$$, i a la seva diagonal curta li diem $$x$$. La funció àrea serà: $$$A(x,y)=\dfrac{x\cdot y}{2}$$$
Trobo les lligadures. En aquest cas la longitud del costat $$L$$ és la nostra lligadura, ja que han de ser sempre $$10$$m. Hem de calcular doncs $$L$$ en funció de les variables $$x$$ i $$y$$ i igualar-lo a $$10$$.
Sigui $$L=10$$m el costat del rombe, hem de relacionar $$L$$ amb $$x$$ i $$y$$. Usem el teorema de Pitàgores $$$L^2=\Big(\dfrac{x}{2}\Big)^2+\Big(\dfrac{y}{2}\Big)^2 \rightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}=10 \rightarrow y=\sqrt{20^2-x^2}$$$
Reescrivim la funció $$$A(x,y)=\dfrac{x\cdot y}{2} \rightarrow A(x)=\dfrac{x\cdot \sqrt{20^2-x^2}}{2}$$$ Maximitzem. Per a això s'iguala la derivada $$A'$$ a zero. $$$A'(x)=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}+x\dfrac{1}{2}(20^2-x^2)^{-1/2}(-2x)}{2}= \dfrac{\sqrt{20^2-x^2}-\dfrac{2x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}}{2}=$$$ $$$=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}}{2}-\dfrac{x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}$$$
Fem el càlcul $$$0=A'=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}}{2}-\dfrac{x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}$$$ $$$(20^2-x^2)-x^2=0 \Rightarrow 2x^2=20^2 \Rightarrow x=10\sqrt{2}$$$
aleshores $$$x=10\sqrt{2} \ \mbox{m}$$$
Trobem el valor de $$y$$ $$$y=\sqrt{20^2-x^2} \rightarrow y=\sqrt{20^2-10^2\cdot 2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$$
El rombe amb l'àrea més gran serà el que tingui les diagonals igual de llargues, és a dir, el jardí haurà de tindre forma quadrada. en aquest cas, l'àrea serà de $$100 \ \mbox{m}^2$$.
Solució:
$$A_{max}=100 \ \mbox{m}^2$$