Calcula la posició relativa de la circumferència $$x^2+y^2-4x+2y-20=0$$ i la recta $$3x+4y-27=0$$.
Desenvolupament:
Plantegem el sistema format per $$$\left\{\begin{array}{c} x^2+y^2-4x+2y-20=0 \\ 3x+4y-27=0 \end{array}\right.$$$
Aïllem ara la $$x$$ de l'equació de la recta $$$x=\dfrac{27-4y}{3}$$$ i la substituïm en l'equació general de la circumferència que ens dóna l'enunciat. $$$\Big(\dfrac{27-4y}{3}\Big)^2+y^2-4\Big(\dfrac{27-4y}{3}\Big)+2y-20=0$$$ Aquesta és l'equació de la que hem de mirar el discriminant. Desenvolupant els quadrats tenim: $$$\dfrac{27^2}{9}-2\cdot\dfrac{27}{3}\cdot\dfrac{4y}{3}+\dfrac{16y^2}{9}+y^2-\dfrac{4\cdot27}{3}+\dfrac{16y}{3}+2y-20=0$$$ $$$\Big(\dfrac{16}{9}+1\Big)y^2+\Big(\dfrac{16}{3}+\dfrac{6}{3}-\dfrac{72}{3}\Big)y-20+\dfrac{27^2}{9}-\dfrac{4\cdot27}{3}=0$$$ $$$\Big(\dfrac{25}{9}\Big)y^2+\Big(-\dfrac{50}{3}\Big)y-20+27\cdot3-\dfrac{108}{3}=0$$$ $$$\Big(\dfrac{25}{9}\Big)y^2+\Big(-\dfrac{50}{3}\Big)y+\dfrac{75}{3}=0$$$ $$$25y^2-150y+225=0$$$
Resolent aquesta equació de segon grau tenim: $$$y=\dfrac{150\pm\sqrt{150^2-4\cdot25\cdot225} }{2\cdot25}=\dfrac{150\pm\sqrt{0}}{50}=3$$$ Per tant el discriminant és $$$\Delta=\sqrt{22.500-22.500}=0$$$ i resulta ser que la circumferència i aquesta recta són tangents en un punt. Substituint la $$y$$ trobada a l'equació de la recta obtenim: $$$x=\dfrac{27-4\cdot3}{3}=\dfrac{27-12}{3}=\dfrac{15}{3}=5$$$ de manera que el punt d'intersecció serà el $$(5,3)$$.
Solució:
Són tangents al punt $$(5,3)$$.