Interpretació física de la derivada

El món de la física ens dóna una bona eina per a la comprensió de les derivades.

Taxa de Variació Mitjana = Velocitat Mitjana

Un conductor recorre els $$20$$ km que separen la seva casa de la seva oficina a $$10$$ minuts. Quina és la velocitat mitjana?

Igual que la $$TVM$$, la velocitat mitjana es defineix com l' increment de distància $$\Delta d$$ (és a dir, la distància recorreguda) dividit per l' increment de temps $$\Delta t$$ emprat en recórrer-la.$$$\displaystyle v_m=\frac{\Delta d}{\Delta t}=\frac{20 \mbox{ km }}{10 \mbox{ min }}=120 \mbox{ km/h }$$$

Derivada en un punt = Velocitat instantània

El conductor no va estrictament a $$120$$ km/h durant tot el trajecte, sinó que la seva velocitat anirà variant (no surt del pàrquing de casa seva a $$120$$ km/h !).

La velocitat instantània és la velocitat en un instant precís. Dit d'una altra manera, fem que l' interval de temps transcorregut sigui pràcticament zero i mirem quina seria la distància recorreguda. $$$\displaystyle v(t)=\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta d}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(a+\Delta t)-f(a)}{\Delta t}$$$ La funció velocitat és la funció derivada de la funció posició (o espai).

La distància que recorre una persona en funció del temps transcorregut és: $$$d(t)=t^2-t+2$$$

  • Calculeu la velocitat mitjana en els primers $$5$$ segons de moviment.

L'enunciat ens dóna $$\Delta t= 5s$$. Calculem la distància recorreguda:$$$\Delta d= d(t=5)-d(t=0)=22-2 \mbox{ metres }$$$ Per tant, $$$\displaystyle v_m=\frac{20 \mbox{ m}}{5\mbox{ s}}= 4\mbox{ m/s}$$$

  • Calculeu ara la velocitat instantània després de $$t=2s$$ de recorregut.

La velocitat instantània als dos segons de recorregut és la derivada de la distància al punt $$t=2$$.

Calculem la derivada (podem recórrer a la definició o saber alguna cosa més sobre càlcul de derivades) i obtenim:$$$d'(t)=2t-1 \Rightarrow d'(2)=2\cdot 2-1=3 \mbox{ m/s}$$$