Una funció definida a trossos és una funció l'expressió analítica de la qual no és única sinó que depèn del valor de la variable independent.
Així la funció definida per $$$f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x-1 & \mbox{ si } & x \leq -3 \\ 3 & \mbox{ si } & -1 < x < 1 \\ x-2 & \mbox{ si } & x\geq 1 \end{array}\right.=\left\{\begin{array}{rcl} -x-1 & \mbox{ si } & x\in (-\infty,3] \\ 3 & \mbox{ si } & x\in (-1,1)\\ x-2 & \mbox{ si } & x\in [1, +\infty]\end{array}\right.$$$ és una funció definida a trossos.
Per calcular la imatge d'un element $$x$$ observem a quin interval pertany i el substituïm en l'expressió analítica corresponent a aquest interval.
En el cas anterior per exemple,
- si $$x=-4$$, substituïm en $$f(x)=-x-1$$ i obtenim $$f(-4)=3$$
- si $$x=-2$$, la imatge no està definida ja que $$-2$$ no pertany a cap interval de definició de la funció.
- si $$x=0.5$$, substituïm en $$f(x)=3$$ obtenim $$f(0.5)=3$$
- si $$x=1$$ substituïm en $$f(X)=x-2$$ obtenim $$f(1)=-1$$
Com les expressions que defineixen cada un dels trossos tenen com a domini com a mínim el mateix tros, el domini de la funció $$f(x)$$ està format per la unió dels intervals de definició de la funció. $$$Dom(f)=(-\infty,-3] \cup (-1,1)\cup [1,+\infty)=(-\infty,-3]\cup (-1,+ \infty)$$$ Si ens fixem ara en el gràfic de la funció anterior que presentem a continuació, podem observar que $$Im (f)=[-1,+\infty)$$:
Vegem uns exemples de funcions definides a trossos:
Considerem la funció $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} 1 & \mbox{ si } & x\leq 2 \\ 2 & \mbox{ si } & x > 2\end{array}\right.$$.
La seva gràfica és la unió de les gràfiques de les funcions $$f(x)=1$$ per $$x \leq 2$$ i $$f(x)=2$$ per $$x>2$$.
La representació gràfica seria:
Considerem la funció $$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} -x & \mbox{ si } & x\leq -1 \\ x^2 & \mbox{ si } & -1 < x < 1 \\ x & \mbox{ si } & x \geq 1 \end{array}\right.$$
Aquesta vegada la seva gràfica serà la unió d'una recta, una paràbola i una altra recta, definides cadascuna on indica la funció.
$$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} 2x-1 & \mbox{ si } & x < 1 \\ x+3 & \mbox{ si } & x > 1 \end{array}\right.$$
i si volem avaluar en $$x=-1$$ obtindrem: $$f(-1)=f_1(-1)=2(-1)=2(-1)-1=-2-1=-3$$
$$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x-1 & \mbox{ si } & x<-3 \\ x^2+1 & \mbox{ si } & -3\leq < 0 \\ 3 & \mbox{ si } &0 \leq x \leq 100 \\ \ln(x+e^x) & \mbox{ si } x>100 \end{array}\right.$$
i si volem avaluar en $$x=-1$$ obtindrem: $$f(-1)=f_2(-1)=(-1)^2+1=1+1=2$$
El següent exemple no seria una funció definida a trossos ja que els conjunts de definició de les subfuncions no són disjunts: $$$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{rcl} x & \mbox{ si } & x < 0 \\ x+1 & \mbox{ si } & -1 < x < 2 \\ -3 & \mbox{ si } x\geq 2 \end{array}\right.$$$
ja que per punts en $$(-1,0)$$ s'hauria d'avaluar la funció en $$f_1(x)=x$$ i en $$f_2(x)=x+1$$, i com obtindríem dos valors per a un sol punt, això no compliria la definició de funció.