Exercicis de Fraccions equivalents: simplificació i fracció irreductible

Desenvolupament:

Comencem mirant a quines fraccions és equivalent la fracció $$\dfrac{3}{4}$$. Per fer-ho, hem de comprovar-ho amb cadascuna de les altres fraccions:

• $$\dfrac{3}{4}$$ i $$\dfrac{4}{5}$$ no són equivalents ja que $$3\cdot5=15$$ i $$4\cdot4=16$$
• $$\dfrac{3}{4}$$ i $$\dfrac{-3}{4}$$ no són equivalents ja que $$3\cdot4=12$$ i $$4\cdot(-3)=-12$$
• $$\dfrac{3}{4}$$ i $$\dfrac{4}{-3}$$ tampoc no són equivalents ja que $$4\cdot4=16$$ i $$3\cdot(-3)=-9$$
• $$\dfrac{3}{4}$$ i $$\dfrac{-3}{-4}$$ són equivalents ja que $$3\cdot(-4)=4\cdot(-3).$$
• $$\dfrac{3}{4}$$ i $$\dfrac{12}{16}$$ són equivalents ja que $$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot4}{4\cdot4}=\dfrac{12}{16}.$$
• $$\dfrac{3}{4}$$ i $$\dfrac{3}{4}$$ són equivalents perquè tota fracció és equivalent a ella mateixa (propietat reflexiva).

A partir d'aquí, gracies a la propietat transitiva, tenim que les fraccions $$\dfrac{3}{4}$$, $$\dfrac{-3}{-4}$$ i $$\dfrac{12}{16}$$ són equivalents i que les altres fraccions $$\dfrac{4}{5}$$, $$\dfrac{-3}{4}$$ i $$\dfrac{4}{-3}$$, no són equivalents a les anteriors. Encara hem de veure, però, si són equivalents entre elles: $$\dfrac{4}{5}$$ no és equivalent a $$\dfrac{-3}{4}$$ ja que $$4\cdot4=16$$ i $$5\cdot(-3)=-15$$, i tampoc ho és amb $$\dfrac{4}{-3}$$. Només queda provar la última parella $$\dfrac{-3}{4}$$ i $$\dfrac{4}{-3}$$, que tampoc són equivalents.

Solució:

Les fraccions $$\dfrac{3}{4}$$, $$\dfrac{-3}{-4}$$ i $$\dfrac{12}{16}$$ són equivalentes. Les altres tres no ho són.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

1. Primer hem de dividir $$840$$ entre $$7$$ i el resultat multiplicar-ho per $$3$$: $$$(840:7)\cdot3=120\cdot3=360$$$
2. $$(-45:9)\cdot(-2)=-5\cdot(-2)=10$$

Solució:

1. $$360$$
2. $$10$$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

1. Per a trobar la forma irreductible d'una fracció, hem de calcular primer les factoritzacions en nombres primers del seu numerador i denominador: $$18=2\cdot3^2$$ i $$24=2^3\cdot3.$$

   I per a l'altra fracció: $$45=3^2\cdot5$$ i $$50=2\cdot 5^2.$$

   A continuació calculem el màxim comú divisor del numerador i denominador en cada cas: $$mcd(18,24)=2\cdot3=6$$ i $$mcd(45,50)=5.$$

   I finalment, dividim numerador i denominador pel mcd: $$\dfrac{18}{24}=\dfrac{18:6}{24:6}=\dfrac{3}{4}$$ i $$\dfrac{45}{50}=\dfrac{45:5}{50:5}=\dfrac{9}{10}$$.

2. Per a passar del denominador $$7$$ a $$-98$$, és necessari multiplicar el $$7$$ per $$-14$$, ja que: $$-98=-2\cdot 7^2=7\cdot(-14).$$ Per tant, podem construir la fracció equivalent: $$\dfrac{-2}{7}=\dfrac{-2\cdot(-14)}{7\cdot(-14)}=\dfrac{28}{-98}$$.

Solució:

1. $$\dfrac{3}{4}$$ i $$\dfrac{9}{10},$$ respectivament.
2. $$\dfrac{28}{-98}.$$

Amagar desenvolupament i solució