Les equacions diofàntiques quadràtiques són equacions del tipus: $$ax^2+bxy+cy^2=d$$ on $$a$$, $$b$$, $$c$$ i $$d$$ són enters, i es demana que les solucions $$x$$ i $$y$$ siguin també nombres enters.
No obstant això, aquí només es tractaran equacions diofàntiques quadràtiques del tipus: $$x^2-y^2=n$$ amb $$n$$ qualsevol nombre enter.
En aquest cas, tal com abans, pot passar que l'equació no tingui solució, o bé que tingui més d'una solució. No obstant això, la condició perquè aquesta equació diofàntica tingui solució és més senzilla: si $$n$$ es pot escriure com a producte de dos nombres que siguin o bé tots dos parells, o bé senars, llavors hi haurà solució.
Si $$n = 4$$ tenim que $$n = 2 \cdot 2$$, i tots dos són parells, per tant l'equació $$x^2-y^2=4$$ té solució.
Si $$n = 15$$, tenim que $$n = 3 \cdot 5$$, $$3$$ i $$5$$ són tots dos senars, per tant l'equació $$x^2-y^2=15$$ té solució.
Si $$n = 6$$, tenim que els divisors de $$6$$ són $$1, 2, 3$$ i $$6$$.
A més, per tal que el resultat de multiplicar-los doni $$6$$ s'ha de fer o bé $$1\cdot 6$$, o bé $$2 \cdot 3$$, i no hi ha cap altra manera d'escriure $$6$$ com a producte de $$2$$ nombres enters (positius).
En cap dels 2 casos es compleix que tots dos nombres siguin parells o senars, així que l'equació $$x^2-y^2=6$$ no té solució.
Suposem ara que $$n = a \cdot b$$, amb $$a$$ i $$b$$ parells els dos o senars tots dos. Llavors una solució ve donada per: $$$\displaystyle \begin{array}{c} x=\frac{a+b}{2} & y=\frac{a-b}{2}\end{array}$$$
Per exemple, en el cas que s'ha vist abans de $$n = 4 = 2 \cdot 2$$, tenim que $$a= 2$$ i $$b = 2$$, per tant una solució és $$$\displaystyle \begin{array} {c}x=\frac{2+2}{2}=2 & y=\frac{2-2}{2}=0\end{array}$$$
Observem que en cas que hi hagi una solució, aquesta pot no ser única, ja que és possible que $$n$$ admeti una altra descomposició com a producte de dos nombres parells o imparells.
Per exemple, si $$n = 16$$, tenim que $$n = 2\cdot8$$ (els 2 són parells) però també $$n = 4\cdot4$$ (i també els 2 són parells), i cadascuna d'aquestes dues representacions de $$n$$ dóna una solució diferent de l'equació diofàntica.