Direm que l'EDO $$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$ on $$P, Q$$ són funcions de $$x$$ i $$y$$, és exacta si $$P_y=Q_x$$, on $$P_y$$ indica la derivada parcial de $$P$$ respecte de $$y$$ i $$Q_x$$, la derivada parcial de $$Q$$ respecte de $$x$$.
Un exemple d'EDO exacta seria:$$$(x^3+y^3) dx+3xy^2dy=0$$$ En efecte, anomenant $$P(x,y)=(x^3+y^3), Q(x,y)=3xy^2$$ tenim que $$P_y=3y^2=Q_x$$.
Cal observar que no totes les EDO's són exactes, per exemple
$$$-y^2\cdot dx +(x^2+xy) \cdot dy=0$$$ no és exacta, ja que anomenant $$P(x,y)=-y^2, Q(x,y)=x^2+xy$$, es té $$$P_y=-2y\neq Q_x=2x+y$$$.
Resoldre aquest tipus d'equacions consisteix a trobar una funció $$U(x,y)$$ tal que $$U_x=P$$ i $$U_y=Q$$ i la solució ve donada per $$U(x,y)=C$$, on $$C$$ és una constant.
Per resoldre aquest tipus d'equacions procedirem de la següent manera.
Tenim:$$U_x(x,y)=P(x,y)$$. Integrem a banda i banda de la igualtat respecte de $$x$$: $$$\displaystyle \int U_x(x,y) \ dx=\int P(x,y) \ dx \Rightarrow U(x,y)=\int P(x,y) \ dx +h(y)$$$
Per tant tenim determinada la funció, excepte que ens cal conèixer $$h$$, que és una funció que només depèn de $$y$$. Per trobar-la, derivem l'expressió anterior respecte de $$y$$: $$$\displaystyle U_y(x,y)= \frac{d}{dy} \int P(x,y) dx + h'(y)$$$ A més, sabem que $$U_y=Q$$. Per tant igualant els termes obtenim una equació diferencial (que no depèn de $$x$$, ja que l'EDO és exacta) per trobar $$h(y)$$.
Un cop trobada $$h(y)$$ , l'afegim a l'expressió trobada de $$U(x,y)$$ que, igualada a una constant, és la solució de la nostra EDO.
Resolem l'EDO $$$(x^3+y^3)dx+3xy^2dy=0$$$ que sabem que és exacta.
Sabem que busquem una funció $$U(x,y)$$ de manera que $$U_x(x,y)=P(x,y)$$. Com ja hem comentat tenim: $$$U(x,y)=\int P(x,y) \ dx +h(y)=\int (x^3+y^3)dx+h(y)=\frac{x^4}{4}+y^3x+h(y)$$$ on $$h(y)$$ és una funció a determinar que només depèn de $$y$$. Per trobar aquesta funció, imposem que $$U$$ sigui solució, és a dir $$U_y(x,y)=Q(x,y)$$.
Derivant respecte de $$y$$ obtenim una solució si la igualem a una constant: $$$\left . \begin {array} {r} U_y=3y^2x+h'(y) \\ U_y=Q(x,y)=3xy^2 \end{array}\right\} \Rightarrow h'(y)=0 \Rightarrow h(y)=C$$$ on $$C$$ és una constant que no és tan important, ja que també tindrem una constant en la solució final.
Així doncs, la solució de l'EDO serà: $$$\displaystyle U(x,y)=\frac{x^4}{4}+xy^3=C$$$