Quocient de nombres racionals
El quocient entre el nombre enter $$-6$$ i el nombre enter $$2$$ és el nombre enter $$-3$$,ja que $$-6=2\cdot(-3)$$.
Aquest exercici de multiplicar nombres enters es pot escriure en forma de divisió com: $$$\begin{matrix}(-6) & :2 & =-3 \\\\ \nearrow & \uparrow &\nwarrow \\\\ \mbox{dividend}&\mbox{ divisor }& \mbox{quocient} \end{matrix}$$$
De la mateixa manera, el nombre racional $$\dfrac{3}{20}$$ es pot expressar com el producte entre el nombre racional $$\dfrac{3}{4}$$ i un altre. Quin és aquest altre racional?
Podem comprovar que aquest altre racional és $$\dfrac{1}{5}$$: $$$\dfrac{3}{20}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 5}$$$. I llavors direm que el quocient de la divisió de $$\dfrac{3}{20}$$ entre $$\dfrac{3}{4}$$ és igual a $$\dfrac{1}{5}$$. De la mateixa manera que es fa amb els nombres enters, l'exercici de multiplicar $$\displaystyle \frac{3}{20}=\frac{3}{4}\cdot$$ es pot escriure en forma de divisió $$\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?$$.
Càlcul del quocient entre dos nombres racionals
-
L'exercici: $$$\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=?$$$ s'escriu com $$$\displaystyle ?\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{20}$$$.
-
Multipliquem dos termes de la igualtat per l'invers del divisor $$\displaystyle \Big(?\cdot \frac{3}{4}\Big)\cdot \frac{4}{3}=\Big(\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}\Big)$$
- Tenint en compte les propietats del producte de fraccions, obtenim $$$?\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{3}{20}\cdot\frac{4}{3}.$$$ I com que $$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}=1$$, resulta que: $$$\displaystyle ?\cdot 1=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{3\cdot4}{20\cdot 3}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$$$ Per tant: $$$\displaystyle \frac{3}{20}:\frac{3}{4}=\frac{3}{20}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{5}$$$
És a dir, per trobar el quocient entre dos nombres racionals $$\dfrac{a}{b}$$ (dividend) i $$\dfrac{c}{d}$$ (divisor), i el divisor diferent de zero, cal multiplicar el dividend per l'invers del divisor: $$$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}$$$
Per calcular el quocient de $$-\dfrac{4}{5}$$ entre $$-\dfrac{3}{2}$$: $$$-\dfrac{4}{5}:\Big(-\dfrac{3}{2}\Big)$$$
Multipliquem el dividend $$-\dfrac{4}{5}$$ per l'invers del divisor $$-\dfrac{3}{2}$$, que és $$-\dfrac{2}{3}$$: $$$\displaystyle -\frac{4}{5}:\Big(-\frac{3}{2}\Big)=-\frac{4}{5}\cdot \Big(-\frac{2}{3}\Big)=\frac{-4}{5}\cdot\frac{-2}{3}=\frac{8}{15}$$$
De la mateixa manera que els nombres enters, quan tenim una expressió amb sumes, restes, multiplicacions i divisions entre fraccions hem operar primer els parèntesis, posteriorment les multiplicacions i les divisions i finalment les sumes i restes.
Quocient entre un nombre racional i un enter
Per dividir un número enter $$a$$ per un número racional $$\dfrac{m}{n}$$ hem d'expresar el número enter $$a$$ de la forma $$\dfrac{a}{1}$$ i procedir de la mateixa manera que en el cas anterior: $$$\displaystyle a:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}:\frac{m}{n}=\frac{a}{1}\cdot \frac{n}{m}$$$
I, de la mateixa manera, per a dividir un nombre racional $$\dfrac{m}{n}$$ entre un número enter $$a$$, procedirem així: $$$\displaystyle \frac{m}{n}:a=\frac{m}{n}:\frac{a}{1}=\frac{n}{m}\cdot \frac{1}{a}$$$