Per calcular la distància entre dos plans $$\pi$$ i $$\pi'$$ qualssevol, cal tenir en compte la seva posició relativa:
- Si els plans són coincidents o secants, la distància entre ells és zero, $$\text{d}(\pi, \pi') = 0$$.
- Si els plans són paral·lels, la distància entre ells es calcula prenent un punt qualsevol d'un d'ells i calculant la distància d'aquest punt a l'altre pla. $$$\text{d}(\pi,\pi') = \text{d}(P,\pi') = \text{d}(\pi,P')$$$ on $$P\in\pi$$ i $$P'\in\pi'$$.
Troba la distància entre els plans següents:
$$$\pi: 2x - 4y + 4z +3 = 0 \qquad \pi': x - 2y + 2z -1 = 0$$$
Comprovem que els plans siguin paral·lels: $$$\dfrac{2}{1}=\dfrac{-4}{-2}=\dfrac{4}{2}$$$
Efectivament.
Per tant, podem prendre el punt $$P'= (1, 0, 0)$$ pertanyent a $$\pi'$$ i fer: $$$\text{d}(\pi,\pi')=\text{d}(P',\pi) = \dfrac{|2\cdot1-4\cdot0+4\cdot0+3|}{\sqrt{2^2+(-4)^2+4^2}}= \dfrac{5}{6}$$$
Una altra bona manera de calcular la distància entre plans paral·lels, si els tenim expressats com:
$$$\pi: Ax + By + Cz + D = 0 \qquad \pi': Ax + By + Cz + D' = 0$$$
consisteix a utilitzar la seva distància a l'origen de coordenades, cosa que permet obtenir la següent expressió:
$$$ \text{d}(\pi,\pi') = \dfrac{|D-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$